funkcje gosia: Zbiorem wartości funkcji kwadratowej y=f(x) jest przedział <3;+∞) natomiast zbiorem rozwiązań nierówności f(x) ≤5 jest przedział <−3;1>. wyznacz wzór funkcji kwadratowej f.

Basia: Pomagam

Basia: Skoro <3;+∞) jest zbiorem wartości funkcji to jak będzie wyglądała parabola, która jest jej wykresem ?

gosia: od 3 do nieskończoności

Basia: ale jak będzie wyglądała parabola ? jak ma skierowane ramiona ? co można powiedzieć o jej wierzchołku ?

gosia: nie wiem do góry mnie na tych lekcjach nie było

Basia: a do której klasy chodzisz ? owszem, do góry czyli jaki jest współczynnik przy x² ?

gosia: 3 ?

Basia: nie współczynnik jest dodatni każda funkcja kwadratowa jest opisana wzorem y = f(x) = ax² + bx + c wykresem jest parabola dla a> 0 ramiona paraboli skierowane są do góry dla a<0 ramiona paraboli skierowane są w dół wierzchołek paraboli ma współrzędne

	−b
xw =
	2a

	−Δ
yw =
	4a

z treści zadania wynika: 1. a>0 2. y_w = −3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dalej: zbiorem rozwiązań nierówności f(x)≤5 jest zbiór <−3;−1> nierówność f(x) ≤ 5 jest równoważna z nierównością f(x) − 5 ≤ 0 wykres funkcji y = f(x) − 5 powstaje z wykresu funkcji y=f(x) przez przesunięcie o wektor u=[0;−5] (czyli równolegle do osi OY, o 5 w dół) miejscami zerowymi funkcji y=f(x) − 5 są x₁ = −3 i x₂=−1 tzn: f(−3) − 5 = 0 f(−3) = 5 −−−−−−−−−−−−− f(−1) − 5 = 0 f(−1) = 5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− osią symetrii paraboli y=f(x)−5 będzie prosta

	x1+x2		−3−1		−4
x =		=		=		= −2
	2		2		2

parabola y = f(x) ma tę samą oś symetrii czyli: x_w = −2 (bo wierzchołek leży na osi symetrii)

	−b
xw =
	2a

−b
	= −2
2a

−b = −4a b = 4a −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− czyli y = f(x) = ax² + 4ax + c f(−1) = a − 4a + c = −3a + c −3a + c = 5 c = 3a + 5 −−−−−−−−−−−−−−−−−− Δ = b² − 4ac Δ = 16a² − 4a*(3a+5) = 16a² − 12a² − 20a = 4a² − 20a

	−Δ		−4a2 + 20a		4a(−a + 5)
yw =		=		=		= −a + 5
	4a		4a		4a

y_w = −3 −a + 5 = −3 −a = −8 a = 8 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− b = 4a b = 32 −−−−−−−−−−−−−− c = 3a + 5 c = 24 + 5 c = 29 −−−−−−−−−−−−−−−−−− y = f(x) = 8x² + 32x + 29

gosia: dzięki wielkie

agata: fajnie, fajnie.. tylko szkoda, że źle..

zajączek: ZW= <3,∞) => y_w= 3 i ramiona paraboli do góry rozwiązaniem nierówności f(x) ≤ 5 jest przedział < −3, 1> co oznacza,że f(−3)= f(1)= 5

	−3+1
zatem osią symetrii wykresu jest prosta x=		= −1
	2

czyli : x_w= −1 , W( −1,3) z postaci kanonicznej: f(x) = a( x+1)² +3 i f(1)= 5 mamy: 5= a(1+1)²+3 5= 4a+3

	1
a=
	2

	1
w postaci kanonicznej : f(x) =		(x+1)2+3
	2

	1		1
lub w postaci ogólnej : f(x) =		x2+x +3
	2		2