kombinatoryka Kasia: Witam Mam problem z trzema zadankami z kombinatoryki.. Prosilabym bardzo o pomoc i wyjasnienie Z góry każdemu bardzoooo dziękuję 1. W klasie jest 15 dziewczat i 16 chlopcow. Sposrob uczniow tej klasy trzeba wybrac czteroosobowa delegacje. Na ile sposobow mozna to zrobic, tak aby w delegacji znalazy sie a) tylko dwie dziewczynki b) co najmniej dwie dziewczynki c) co najwyzej dwie dziewczynki? 2. W turnieju szachowym startowalo 10 zawodnikow. W pierwszej fazie kazdy z zawodnikow rozegral po dwie partie z kazdym z pozostalych, po czym pewna liczba zawodnikow musiala wyjechac na zgrupowanie kadry i w drugiej fazie kazdy z pozostalych rozegral z kazdym po jednej partii. Ilu uczestnikow wyjechalo na zgrupowanie kadry, jesli w obu fazach turnieju rozegrano lacznie 111 partii? 3. Ze zbioru liczb {1,2,3,...,15} losujemy jednoczesnie dwie. Ile jest mozliwosci wynikow losowania, tak aby : a) suma obu liczb byla parzysta b) suma obu liczb byla nieparzysta c) iloczyn obu liczb byl parzysty

Krzych: Zacznę od końca: Zadanie 3 Zauważ, że w podanym zbiorze masz 7 liczb parzystych i 8 liczb nieparzystych. a) Suma dwóch liczb jest parzysta gdy obie są parzyste lub gdy obie są nieparzyste, zatem będzie parzysta jak wylosujemy 2 z 7 parzystych lub 2 z 8 nieparzystych co zapisujemy następująco:

7 2		8 2
	+		=28+21=49

b) Suma dwóch liczb jest nieparzysta gdy jedna z liczb jest parzysta a druga nieparzysta zatem musimy wylosować 1 z 7 parzystych i 1 z 8 nieparzystych co zapisujemy następująco:

7 1		8 1
	*		=7*8=56

c) Iloczyn dwóch liczb jest parzysty gdy co najmniej jedna jest parzysta zatem musimy wylosować 1 z 7 parzystych i i 1 z 8 nieparzystych lub 2 z 7 parzystych co zapisujemy następująco:

7 1		8 1		7 2
	*		+		=7*8+21=56+21=77

Krzych: Zadanie 2

	n 2
Sytyację kiedy każdy gra z każdym zapisujemy jako		gdzie n oznacza liczbę

zawodników, ponieważ na tyle sposobów z n zawodników można wybrać dwóch potrzebnych do rozegrania partii. Liczbę zawodników, którzy wyjechali na zgrupowanie kadry oznaczam jako x. Bazując na tym oraz na danych w zadaniu możemy ułożyć następujące równanie:

	10 2		10−x 2
111=2*		+		x<10 x∊N

	(10−x)(10−x−1)
111=2*45+
	2

	(10−x)(9−x)
111=90+
	2

	(x−10)(x−9)
21=
	2

42=x²−19x+90 x²−19x+48=0 (x−16)(x−3)=0 x=16 ⋁ x=3 x≠16 bo 16>10 zatem x=3 Odpowiedź: Na zgrupowanie kadry wyjechało trzech zawodników.

Krzych: Zadanie 1 a) Losujemy 2 z 15 dziewcząt i 2 z 16 chłopców co zapisujemy następująco:

15 2		16 2
	*		=105*120=12600

b) Losujemy 2 z 15 dziewcząt i 2 z 16 chłopców lub 3 z 15 dziewcząt i 1 z 16 chłopców lub 4 z 15 dziewcząt co zapisujemy następująco:

15 2		16 2		15 3		16 1		15 4
	*		+		*		+		=105*120+455*16+1365=12600+7280+1365=21245

c) Losujemy 2 z 15 dziewcząt i 2 z 16 chłopców lub 1 z 15 dziewcząt i 3 z 16 chłopców lub 4 z 16 chłopców co zapisujemy następująco:

15 2		16 2		15 1		16 3		16 4
	*		+		*		+		=105*120+15*560+1820=12600+8400+1820=22820

Kasia: Krych, dziękuję bardzo za pomoc + świetnie tłumaczenie Tego właśnie potrzebowałam. Jedynie mam dwa pytanka co do 2. zadania.

	10 2
dlaczego w pierwszej linijce rownania jest to		pomnożone przez 2 ?

a drugie pytanie : skąd w liczniku wzięła się ta postać (10−x)(10−x−1) z góry dziękuję za wyjaśnienie

kylo1303: Odpowiem za kolege: Mnozymy przez 2 bo powiedziane jest ze: "W pierwszej fazie kazdy z zawodnikow rozegral po dwie partie z kazdym z pozostalych" Co do drugiego: jesli n=10−x, to (n−1)=(10−x−1) a (n−2)=(10−x−2)

10−x 2		(10−x)!		(10−x)(10−x−1)(10−x−2)!
	=		=
		(10−x−2)!*2!		(10−x−2)!*2!

Kasia: aaa, i wszystko jasne. Dziękuję bardzo. Nienawidze tych przekształceń z licznikiem w przypadku tego symbolu Newtona A czy mógłbyś(aś?) pomóc mi jeszcze w 2 zadankach?

Kasia: albo zanim te dwa zadanka, czy mógłbyś/aś dać mi kilka przykładów żeby znowu przekształcić licznik tak żeby dopasować do mianownika, jak w tym przypadku? ( nie wiem jak fachowo nazwać to przekształenie). Chciałabym już bez problemu umieć przekształcić i wiedzieć o co chodzi.

kylo1303: To znaczy to sa standardowe przyklady z dwumianu Newtona:

6 2
	=

n−1 3
	=

6−2x 2
	=

Kasia: przepraszam, ale nie było mnie przy komputerze. Tak, wiem. Nie mam problemu gdy są same cyfry, tylko gdy jest jakaś niewiadoma. dla formalnosci

6 2		6!
	=		= 15
		4!*2!

i teraz zaczynają się schody

n−1 3		(n−1)!		(n−1)!
	=		=		=
		(n−1−3)! * 3!		(n−4)! * 3!

	(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)
	(n−4)!*3!

czy na tym to polega czy nie? nie chce robić na razie 3. przykładu jeśli źle rozumuje

Kasia: jeszcze zgubiłam silnie na końcu w liczniku przy (n−4)

Kasia: hm? odświeżam

kylo1303: Tak, o to chodzi. To wnika oczywisice z tego ze: n!= 1*2*3*...*(n−1)n

Kasia: uf a w trzecim przykładzie ma wyjść

(6−2x)(5−2x)(4−2x)!
	?
(4−2x)! * 2!

kylo1303: Tak, ale doprowadz to jeszcze do najprostszej postaci

Kasia: chyba nie mam skrócić (4−2x)!, bo wcześniej się zostawiało normalnie. Czy chodzi o to, żeby wyłączyć np. z pierwszego nawiasu w liczniku 2 i pozniej skrocic z 2!, czy o coś jeszcze innego Ci chodzi?

kylo1303: Tam zostawialem zeby bylo widac jak sie rozpisuje, gdy bedziesz musiala obliczac (np prawdopodobienstwo czy wlasnie kombinatoryke) to musisz skrocic i dojsc do najprostszej postaci. 1. skroc 2. wymnoz. 3. doprowadz do najproszej postaci

kylo1303: I tak dodam zeby sie nie mylilo: jak masz w dwumianie jakas niewiadoma to trzeba dac odpowiedni warunek

Kasia: rozumiem. to w takim razie najprostsza postać w trzecim przykładzie będzie wyglądać chyba tak : 4x² − 22 x + 15 i jeszcze jak się wyznaczy pierwiastki to byłaby postać iloczynowa, ale nie chce mi się już loczyć. a możesz pomóc mi w dwóch zadankach? Bardzoo proszę 1. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwości wyników losowania, jeśli wśród tych czterech kart mają być: a) dwie damy i dwa asy b) trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król c) trzy figury (figury to:as,dama,król i walet) i jedna karta nie będąca figurą? 2. W przedziale wagonu kolejowego jest osiem numerowanych miejsc ( w dwóch rzędach naprzeciwko siebie). Do przedziału weszły cztery osoby. Na ile sposobów mogą one zająć miejsca w tym przedziale, tak aby: a) w każdym rzędzie siedziały po dwie osoby naprzeciwko osób siedzących w drugim rzędzie b) trzy ustalone osoby siedziały przodem do kierunku jazdy, czwarta − naprzeciwko jednej z trzech osób? Te dwa zadanka to dla mnie jakiś KOSMOS ! Bardzo proszę o pomoc i dokładnie wyjaśnienie

Kasia: ok, to później jak już przebrnę przez te dwa zadanka, które wysłałam przed chwilką i je zrozumiem, to wróce do tego dwumianu i jeszcze spróbuję poćwiczyć to. jeśli masz troche czasu, to bardzo proszę o pomoc

kylo1303: jesli sie nie myle to po skroceniu z 2 (z mianownika) wyszloby 2x²−11x+15 ale nie wazne, zakaldam ze to blad w obliczeniach 1.a) W talii sa 4 damy i 4 asy. Zeby obliczyc wszystkie mozliwosci musisz policzyc ile jest sposobow wybrania 2 asow i 2 dam, a nastepnie przemnozyc. Tak zeby nie pisac tego samego: to sa zadania z kombinatoryki, stosujesz wiec kombinacje. Musisz "policzyc" ile jest kart "w puli" z ktorej wybierasz, oraz ile kart wybierasz. Juz tlumacze o co chodzi na przykladzie b: "trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król" mllodsze od 9 sa: 8,7,6,5,4,3,2 czyli 7 kart, ale mnozymy przez 4 bo sa 4 kolory. Czyli takich kart mamy 7*4=28 Kroli mamy 4. Czyli twoim zadaniem jest policzyc na ile sposobow mozna wybrac 3 karty z 28 oraz 1 z 4ech (ten krol). Staram sie jakos tak opisowo zeby nie dawac od razu wynikow, sproboj jakos dojsc do tego jak liczyc a jak nie to potem juz bede tlumaczyl na rozwiazaniach, Zaraz dam zad2

kylo1303: Zaczne od przykladu b mamy 3 ustalone osoby, wiec rozumiem ze nie musimy rozpatrywac kazdej dowolnej trojki (wtedy trzeba by pamietac zeby pomnozyc przez C₄³ ) Pierwsza osoba moze siasc na 4 miejscach (rzad tez mamy okreslony), druga na 3 a trzecia na 2. Czwarta osoba ma do dyspozycji caly drugi rzad, ale musi siedziec naprzeciwko kogos z rzedu pierwszego, wiec ma tylko 3 mozliwosci. Razem daje nam to: 4*3*2*3=9*8=72

Kasia: tu chyba wychodzą braki ze znajomości kart xD wracając na chwile do a) ile jest dam w całej talii kart? asów jest chyba 4 jeśli dobrze pamiętam, tak? a co z damami?

kylo1303: Talia sklada sie z 4 kolorow po 13 kart w kazdym kolorze. Co wiecej, w kazdym kolerze znajduja sie karty od 2 do asa. Czyli kart kazdego typu jest 4 (4 dwojki, 3 trojki, ..., 4 walety, 4 damy, 4 krole i 4 asy)

kylo1303: 4 trojki*

kylo1303: co do przykladu a (tutaj mam nadzieje ze nie wprowadze w blad) Mamy 2 rzedy po 4 miejsca, w kazdym rzedzie siada 2 osoby.

	4 2
Najpierw "wybieramy" 2 osoby z 4:

Teraz rozpatrzmy ile jest mozliwosci zajecia miejsc w jednym rzedzie przez 2 osoby (wybieramy 2

	4 2
miejsca z 4ech):

Dalej: Jesli wybralismy juz osoby i miejsce, to teraz rozpatrzmy ilosc mozliwosci zeby TE osoby siadly na TYCH miejsach: 1) A B 2) B A 3) A B 4) B A C D C D D C D C Czyli majac pare osob i 2 wybrane miejsca mozemy usadowic ich na 4 sposoby.

	4 2		4 2
Lacznie daje nam to:		*		*4=36*4=144

(tutaj nie daje glowy ze to dobrze xD )

Kasia: nooo, to zdecydowanie ułatwia mi życie dziękuję za zapoznanie mnie z kartami więc tak:

	4 2		4 2
a)		*

	7 3		4 1
b)		*

	16 3		9 1
c)		*

Zgadza się czy nie

kylo1303: a) tak b) nie c) nie

kylo1303: b) Ile jest w sumie kart mlodszych od 9? c) Ile jest kart nie bedacych figura?

Kasia: aaa, wiem już, chwila, poprawie

kylo1303: Masz do tego wyniki? W zadaniu 2a mam jeszcze jedna koncepcje (w wiekszosci sie pokrywa, ale jest roznica)

Kasia:

	28 3		4 1
b)		*

c) tu mam tylko wątpliwość, po głębszym zastanowieniu się, te trzy figury mam rozumieć jako

	4 3
figura i nie obchodzi mnie kolor itd czyli		czy mam brac pod uwage wszystkie karty,

	4*4*4*4 3
które mają figure? czyli wtedy		? co do karty niebędącej fugurą to będzie

	36 1

Kasia: w przykładach a i b w zadaniu 2. oba rozwiązania są poprawne, które podałeś przykład b już przeanalizowałam i rozumiem, teraz zabieram się za 'rozkminianie' przykładu a

kylo1303:

44 3		256 3
	=		?

Lacznie figur jest 16, jak napisalas "nie obchpdzi mnie kolor itd" wiec wybierasz dowolnie 3 z 16. Gdybys miala zawezone w poleceniu, np. mialyby to byc kiery ("czerwo", jeden z kolorow kart, takie czerwone serduszko ) to wtedy figur kier jest tylko 4. Ale ze nie masz nic powiedziane to losujesz ze wszystkich figur

Kasia: w 2 zadaniu, w przykładzie a) nie rozumiem dlaczego tutaj stosuje się kombinacje? bo mi rozumiem podpowiada żeby zrobić po prostu regułą mnożenia, ale nie wyjdzie to samo..

kylo1303: W zadaniu 2a mialem pewna watpliwosc, najlepiej gdyby ktos jeszcze to sprawdzil. Wybranie osob (6) i 2 miejsc (6) nie podlega jakiejs dyskusji. Gorzej dalej. Bo mozna rozpatrywac dla jednego rzedu i potem mnozyc x2 jako ze sa 2 rzedy. Tyle tylko ze jakos w swoim rozumowaniu uznalem ze dowolnosc wyboru 2 osob automatycznie usuwa nam wybor rzedu (chodzi o to ze w pierwszym rzedzie moze byc zarowno A,B jak i C,D− wtedy w drugim byloby odpowiednio C,D i A,B wiec tak czy siak rozpatrzylbym wszystkie mozliwosci zajecia miejsca w obu rzedach.)

Kasia: no tak, piękne głupoty pisze −₋− oczywiście chodziło mi, że wszystkich figur jest 16, a ja jakieś głupie mnożenie zaczęłam robić.. nie zwracaj na to uwagi xD czyli ostatecznie

	16 3		36 1
c)		*		, tak?

rozumiem, że skoro nic nie pisałeś co do przykładu b, to znaczy, że jest okej?

kylo1303: Kombinacje stosujemy przy wyborze miejsc i osob. Odpowiedz sobie na pytanie: 1. Na ile sposob mozna wybrac 2 osoby z 4? 2. Na ile sposob mozna wybrac 2 miejsca z 4?

kylo1303: Tak, "b" jest okej. Po poprawieniu c tez okej.

kylo1303: Regula mnozenia tez mozna (zakladam ze chodzi o to zeby 4*3=12 jakos ilosc mozliwosci w jednym rzedzie), tylko ze trzeba by dokonac pewnej modyfikacji w dalszej czesci zadania.

Kasia: co do Twoich pytań, to w obu przypadkach można wybrać na 6 sposobów. Właśnie tak zaczęłam kombinować z tym 2 a) rozważyłam najpierw pierwszy rząd , czyli pierwsza osoba ma do wyboru 4 miejsca, druga już 3, czyli 4*3 = 12 i później się pogubiłam.. a mógłbyś napisać jak można by zrobić właśnie tym sposobem? rozważając dalej II rząd.

kylo1303: Glownie ogranicza sie to do tego, ze potem musisz przemnozyc tylko przez 2 (a nie tak jak w przypadku I przez 4). Pierwsza osoba moze siasc na 4 miejsach: A − − − A B − − A − B − A − − B − A − − B A − − − A B − − A − B − − A − itd − − − A itd Zwroc uwage na kolorowy fragment i porownaj z moim wczesniejszym rozumowaniem (ostatnia czesc, rozpatrywanie wszystkich sposobow usadzenia)

Kasia: rozumiem, tylko , że próbując zrobić to regułą mnożenia to później rozważająć II rząd to trzecia osoba ma do wyboru 2 miejsca (skoro te kolejne dwie osoby mają siedzieć naprzeciwko tej pierwszej pary), a czwartej osobie zostaje jedno miejsce nie rozumiem dlaczego nie wystarczy to wymnożyć czyli 3*4*1*2 jeśli rozumiesz w ogóle co kieruje moim rozumowaniem i zrozumiesz gdzie coś źle analizuje, to proszę o wytłumaczenie

kylo1303: Dobrze analizujesz. Jesli chodzi o pierwszy rzad to wyszlo ci 12 sposob, w drugim rzedzie tak jak piszesz: 2*1 co lacznie daje 24 mozliwosci. Jedyne co ci pozostaje to wybor osob, ktore maja siedziec w pierwszym badz drugim rzedzie.

	4 2
Tutaj zostaje nam kombinacja		=6

Co razem daje nam 6*24=144

kylo1303: Bo ty rozpatrzylas mozliwosci przykladowo dla pary AB siedzacej w peirwszym rzedzie i CD w drugim. A moze byc przeciez AC i BD, AD i BC, BC i AD, BD i AC oraz CD i AB

Kasia: aaaaaaa, teraz wszystko rozumiem kurcze, ale sama za nic bym nie wpadła że tutaj trzeba jeszcze pamiętać o kombinacji.. masz racje eh, gdybym mogła korzystać z Twojej pomocy na sprawdzianie to bym mogła napisać xD

Kasia: w każdym razie dziękuję Ci ogromnie za pomoc bardzo, ale to bardzo mi pomogłeś

kylo1303: Nie ma problemu. Przyjemnie jest pomagac komus kto chce sie nauczyc. Najgorzej jest gdy ktos nic nie daje od siebie i tylko liczy na gotowe rozwiazania. Pozdrawiam i zycze udanego sprawdzianu.

Kasia: oj tak, masz racje. Nie dziękuję, żeby nie zapeszyć Życzę miłego wieczoru : )

Mila: Punkt a)

	4 2
Wybieram 2 osoby z 4 −

	2 1
Wybieram dla nich 1 rząd z 2 −

Dwie wybrane osoby siadają na : 4∧3 sposoby pozostałe osoby siadają na : 2 ∧1 sposoby razem : 288?

kylo1303:

	4 2
Sadze ze to rozumowanie ma jedna luke. Kombinacja osob		wyczerpuje juz mozliwosci

usadzenia roznych par w roznych rzedach, wiec nie trzeba mnozyc przez 2 jako ze sa dwa rzedy. Wtedy wynik wyszedlby 144 (bo chyba taki ma wyjsc)

Kasia: tak, w odpowidziach jest 144.