Proszę pomóżcie, jak szukać takiego wzoru?? Nikita: Dany jest ciąg rekurencyjny : {b₁= 2

	1		1
{bn +1 =		bn +
	2		2

Znajdź wzór na b_n

Trivial: Równanie jednorodne.

	1
bn+1 =		bn
	2

Podstawiamy b_n → qⁿ

	1
qn+1 =		qn
	2

	1
q =		.
	2

Zatem rozwiązaniem równania jednorodnego jest

	c
bnj =		, c∊R.
	2n

Przewidujemy rozwiązanie szczególne postaci b_n^s = A, A∊R. Podstawiamy do równania

	1		1
A =		A +
	2		2

A = 1. Zatem rozwiązanie ogólne równania to

	c
bn = 1 +		, c∊R.
	2n

Pozostało wyliczyć stałą c z warunków początkowych

	c
b1 = 1 +		= 2
	2

c = 2. Zatem rozwiązaniem tego równania rekurencyjnego jest ciąg:

	2		1
bn = 1 +		= 1 +		.
	2n		2n−1

Trivial: Można też metodą rozwijania w szereg.

	1		1
bn =		+		bn−1
	2		2

	1		1		1		1
=		+		[		+		bn−2]
	2		2		2		2

	1		1		1
=		+		+		bn−2
	2		22		22

	1		1		1		1		1
=		+		+		[		+		bn−3]
	2		22		22		2		2

	1		1		1		1
=		+		+		+		bn−3
	2		22		23		23

	1		1		1		1		1
=		+		+		+ ... +		+		bn−k
	2		22		23		2k		2k

	1		1		1		1		1
=		(1 +		+		+ ... +		) +		bn−k
	2		2		22		2k−1		2k

	1		1−(1/2)k		1
=		*		+		bn−k
	2		1−(1/2)		2k

	1		1
= 1 −		+		bn−k
	2k		2k

	1
= 1 +		(bn−k − 1).
	2k

Znamy wyraz początkowy b₁, zatem chcemy aby n−k = 1 → k = n−1.

	1
bn = 1 +		(2 − 1)
	2n−1

	1
= 1 +		.
	2n−1