Całkowanie przez części Martyna: Całkowanie przez części. HELP Mam takie trzy przykłady, które stoją mi ością w gardle: 1. ∫xe^x2*(x²+1) dx 2. ∫e^sinxsin2x dx

	x
3. ∫arctg
	2

Proszę o jakąkolwiek pomoc i wskazówki. Nie jestem najmocniejsza z całek a tym bardziej w całkowaniu przez części Z góry dzięki

Krzysiek: 1)podstawienie: t=x² a potem jak liczysz przez części to różniczkujesz wielomian 2)sin2x=2sinxcosx podstawienie t=sinx 3) u'=1

	x
v=arctg
	2

Martyna: Dzięki a mam jeszcze takie pytanie: skąd mam wiedzieć kiedy mam skończyć całkować przez części? Tzn chodzi mi o to, że niektóre przykłady całkuje np dwa razy a niektóre tylko raz.

Krzysiek: chyba nie ma reguły, po prostu jak się przerobi kilka zadań to się 'widzi' np. ∫x² e^x będziemy całkować przez część dwa razy (bo jak zróżniczkujemy x² to będziemy mieć 2x) a ∫x³ e^x już trzy razy przez części

Martyna: o właśnie ten przykład co podałeś ostatni ∫x³e^x to mam rozwiązany w książce. Piszesz, że całkujemy trzy razy, a tam jest scałkowany raz i jest podany wynik jako zadania skończonego. Więc jak? nie chciało im się dalej ?

Martyna: Ooo ten ∫x²e^x też znalałam → scałkowany dwa razy Moja reakcja jest tylko jedna: wtf?

ol: moze moja całka jest łatwiejsza ? https://matematykaszkolna.pl/forum/118787.html ja nie mam własnie za bardzo pojęcia o całkach, pomóżcie!

Krzysiek: Martyna, musi być całkowany przez części 3 razy chyba że był inny przykład i np było jakieś podstawienie użyte

Martyna: Mogę prosić o sprawdzenie? ∫xe^x2*(x²+1)= |t=x² | |dt=2x dx| |¹₂dt=x dx|

	1
...=		∫et*(t+1)dt= |u=t+1, u'=1, v'=et, v=et| =
	2

	1		1
		[(t+1)*et−∫et*1]=		[(t+1)*et−et]
	2		2

Mam nadzieje że czytelnie

Krzysiek: dobrze

Martyna: Przepisuję ten przykład z podęcznika: ∫x^ex dx → oczywiście całkowanie przez części, i wynik w odpowiedziach→ e^x(x³−3x²+6x−6) na moje oko to jest scałkowane tylko raz, powiem nawet że sobie to zrobiłam ale dobrze, może po prostu nie rozwiązali wszystkich trzech etapów, chociaż mogli by choć słowo o tym napisać

Martyna: pomyłka w tej całce, miało być tak: ∫x³e^x

Krzysiek: albo inaczej liczyli może "metoda przewidywań" np napisali że rozwiązanie będzie mieć postać (ax³ +bx² +cx+d)e^x

Martyna: to nie wyjaśnia dlaczego przykład ∫x²e^x został scałkowany do końca , ale niech im będzie poprostu to wprowadziło mnie w błąd, bo myślałam że jest jakaś niepisana reguła do kiedy całkować, ale jeśli mówisz że nie ma to wierzę na słowo

Martyna: Z ostatnim przykładem mam problem, może przez późną godzinę mam lekkie zaćmienie już robię tak:

	x		x		1
∫arctg		dx= |u=arctg		, u'=		, v'=1, v=x| =
	2		2		2+2x2

	x2		x
arctg		−∫		dx= ? i co dalej? znowu przez części albo przez podstawienie?
	2		2+2x2

Krzysiek: u' źle wyliczone po drugie x/2 to argument arctg więc nie można go pomnożyć przez x Tak taką całkę przez podstawienie

Martyna: A dlaczego u' źle wyliczone?

	x		1		1		1
(arctg		)'=(arctgx)' * (		x)' =		*
	2		2		1+x2		2

Krzysiek: źle... Nie możesz tak robić

	4
(arctgx/2)' =		*(x/2)'
	4+x2

Martyna: Czyli tak: całkuję przez części tak jak wyżej z Twoją pochodną i dalej:

	x		4x
...=arctg		*x−∫		[skracam sobie te 4 z 2, co mam nadzieję że jest dozwolone
	2		2*(4+x2)

	x		2x
i wychodzi mi→arctgx		*x−∫		= | t=4+x2, dt=2x dx | =
	2		4+x2

	x		1		x		x
arctg		*x−∫		dt=arctg		*x−lnt=arctg		*x−ln(4+x2)
	2		t		2		2

Martyna: Dopiero teraz zauważyłam dlaczego źle liczyłam tą pochodną Dzięki za wszystko