Dowód twierdzenia dla bardzo dobrych z matmy: Jak udowodnić, że wewnątrz pięciokąta wypukłego albo na jego brzegu istnieje co najmniej jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowite, jeżeli pięciokąt ten ma obie współrzędne całkowite?

Vax: Czyli pięciokąt ma wszystkie wierzchołki w punktach kratowych (Tzn x,y wszystkich 5 wierzchołków są liczbami całkowitymi) tak? Jeżeli tak, to oznaczmy te wierzchołki jako A,B,C,D,E. Popatrzmy na współrzędne ,,x" danych punktów. Z zasady szufladkowej Dirichleta mamy, że co najmniej 3 wierzchołki mają współrzędną x tej samej parzystości, bso niech to będą A,B,C. Popatrzmy teraz na współrzędne ,,y" danych wierzchołków. Znowu z zasady szufladkowej Dirichleta mamy, że co najmniej 2 wierzchołki z danych 3 mają współrzędną ,,y" tej samej parzystości, bso niech to będą A,B. Czyli wierzchołki A,B mają współrzędne x tej samej parzystości, oraz y takiej samej parzystości, ale stąd wynika, że środek odcinka AB ma obie współrzędne całkowite, czyli taki punkt rzeczywiście istnieje, cnd.

dla bardzo dobrych z matmy: tak− pięciokąt ma wszystkie wierzchołki w punktach kratowych