Co robie źle? Święty: Coś dla geniuszy z matematyki dyskretnej Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:

2 2		3 2		4 2		2n 2		(2n−1)n(2n+1)
	+		+		+...+		=
								3

Moje rozwiązanie:

	(2n−1)n(2n+1)
1+3+6+...+(2n−1)n=
	3

Dla n=1 1=1 L=P Założenie k≥1

	(2k−1)k(2k+1)
1+3+6+...+(2k−1)k=
	3

Teza

	(2k+1)(k+1)(2k+3)
1+3+6+...+(2k−1)k+(2k+1)(k+1)=
	3

Dowód

	(2k−1)k(2k+1)
1+3+6+...+(2k−1)k+(2k+1)(k+1)=		+(2k+1)(k+1)=...
	3

Niestety wynik się nie zgadza z wynikiem tezy. W czym tkwi problem?

Krzysiek: jaka jest zależność symboli Newtona ? bo masz 2,3,4, a potem 2n ...

toja: To twierdzenie nie jest prawdziwe! np dla n= 3

	5*3*7
L= 1+3+6= 10 P=		= 35 ⇒L≠P
	3

Pewnie coś źle napisałeś takie twierdzenie jest prawdziwe

	(2n−1)*n(2n+1)
1+32+52+.....+(2n−1)2=
	3

Vax: Oj tam od razu nieprawdziwe

Święty: Musi być prawdziwe. Zadanko pochodzi z kursu korespondencyjnego PWr. Jakieś podpowiedzi?

Vax: No indukcyjnie ładnie idzie

Święty: To chyba coś źle robię...

b.: problem jest w tym, że lewa strona dla n=k+1 ma o dwa składniki więcej niż lewa strona dla n=k −− a Ty uwzględniasz tylko jeden. Inaczej mówiąc, teza i dowód są źle napisane.

Vax: Wyobraźmy sobie taką sytuację. Do pewnego klubu piłkarskiego chodzi 2n+1 osób, trener spośród nich ma wybrać 3 osoby, na ile sposobów może to zrobić ? Z jednej strony można tak: Oznaczmy naszych zawodników jako 1,2,3,...,2n+1, teraz idąc po kolei od zawodnika k, gdzie 3 ≤ k ≤ 2n+1, zastanówmy się na ile sposobów można wybrać wszystkich pozostałych zawodników o numerze mniejszym niż k, aby dla danego k były łącznie z k 3 osoby. Czyli ze wszystkich osób o numerze mniejszym od k należy wybrać 2 osoby, dla k=3 można to

	2 2		3 2
zrobić na		sposobów, dla k=4 można to zrobić na		sposoby, więc w sumie można to

	2 2		3 2		2n 2
zrobić na:		+		+...+		sposobów.

	2n+1 3		(2n−1)2n(2n+1)
Z drugiej strony wszystkich możliwości jest oczywiście		=		=
			6

	(2n−1)n(2n+1)
	3

Czyli:

2 2		3 2		2n 2		2n+1 3		(2n−1)n(2n+1)
	+		+..+		=		=		cnd.
								3

Układając identyczną opowieść, można pokazać pewne uogólnienie:

k k		k+1 k		n k		n+1 k+1
	+		+...+		=