Wielomiany Bartek: Reszta z dzielenia wielomianu x³ + px² −x +q przez trójmian (x+2)² wynosi 1 − x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. To ponoć można rozwiązać na dwa sposoby. Jednym z nich jest ..ee..grupowanie wyrazów? albo tez przez zastosowanie z prawej strony wielomianu liniowego − tak czy siak, nie wiem jak to zrobić.

świąteczny ICSP: x³ + px² − x + q = w(x) q(x) = (x+2)² = x² + 4x + 4 r(x) = 1 − x w(x) = q(x)*p(x) + r(x) q(x) musi być wielomianem stopnia 1. zapiszmy go jako (x−c) w(x) = (x−c)(x²+4x+4) + r(x) = ... = x³ + x²(4−c) + x(4−4c−1) + 1−4c porównuję odpowiednie współczynniki i otrzymuję równanie : 4 − 4c − 1 = −1 i wnioskuję że c = 1 x³ + 3x² −x − 3 p = −q = 3

TOmek: x³+px²−x+q=x²+4x+4*Q(x)+1−x Q(x)=ax+b x³+px²−x+q=(x²+4x+4)*(ax+b)+1−x po wymnozeniu zauwazysz ,ze 1=a −1=b po prostu przyrównujesz wielomiany i rozkładasz pozniej wielomian

Bartek: Fantastycznie, dzięki. − choć muszę przyznać , że załapałem bardziej z odpowiedzi TOmka. Jak to sam jeszcze raz przeliczę, to przeanalizuję dokładnie jeszcze odpowiedź ICSP. A potraficie to rozwiązać metodą grupowania. Bo mam rozwiązanie tego tą metodą, ale za nic jej nie rozumiem i w ogóle nie wiem jak oni do tego doszli: x³ + px² − x +q= (x³ + 4x² + 4x) +(p−4)(x² + 4x +4) − 4x −4(p−4)x −x −4(p−4) +q. Aha. Fajnie, że coś z tego rozumiem. Wybaczcie mi. Jestem artystą, nie matematykiem

świąteczny ICSP: Wieczorem lub w nocy mogę ci to rozwiązać grupowaniem. Teraz niestety zaprzyjaźniam się z przestrzeniami

Bartek: Hehe...dzięki. Na razie ja też rozszyfrowuje odpowiedź TOmka. Ja nie mogę. Po prostu tego nie widze no.

Bartek: Nie. Niech to diabli. Chyba jest za późno. Ślepota i tyle.

TOmek: x³+px²−x+q=(x²+4x+4)*(ax+b)+1−x x³+px²−x+q=ax³+bx²+4ax²+4bx+4ax+1−x 1x³+px²−1*x+q=ax³+x²(b+4a)+x(4b+4a−1)+1 porównuje wspolczyniki przy potedze "3" 1=a i teraz szukam "b" najlepiej bedzie je wyznaczyc dla wpołczynnika "x" bo przy lewym wielomianie mamy liczbę "1" −1=4b+4a−1 −1=4b+4−1 4b=−4 b=−1 nie potrafie lepiej tego wytlumaczyc ;0

Bartek: Rany boskie! Przeliczyłem to sam i wyszło mi jak należy. Uffffffffff

TOmek:

Bartek: Przy czym... jak to sam przeliczyłem zwyczajną metodą, to już wiem o co chodzi. Strasznie mnie jednak ciekawi ta druga metoda..grupowania. Jak ktoś będzie miał chwilę i ochotę, to niech koniecznie zabierze spadochron spadając z nieba.

toja: Można też wykonać dzielenie W(x) przez (x+2)²= x²+4x+4 (x³+px−x+q) : ( x²+4x+4) = x+ (p−4) −x³−4x²−4x −−−−−−−−− = (p−4)x −5x+q −(p−4)x −4(p−4)x −4(p−4) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = (−5−4p+16)x −4p+16+q −−− reszta to: −5−4p+16= −1 i −4p+16+q= 1 p= 3 i q= −3 W(x)=x³+3x²−x−3 = x²(x+3)−(x+3) = (x+3)(x²−1)= (x+3)(x−1)(x+1)

świąteczny ICSP: x³ + px² − x + q (x² + 4x + 4) x³ + px² −x + q będę chciał pogrupować tak aby x² + 4x + 4dało się wyciągnąć przed nawias. Najpierw patrzę na współczynnik przy najwyższych potęgach. W obydwu przypadkach jest równy 1 więc aby otrzymać x³ będę musiał przemnożyć x² przez x czyli mam : x(x²+4x+4) = x³ + 4x² + 4x x³ + px² − x + q = x³ + 4x² + 4x − 4x² − 4x + px² − x + q co dodaje do wielomianu co odejmuje od wielomianu dodałem te dwie wartości aby móc wyciągnąć x przed nawias. Teraz dalej : x³ + 4x² + 4x − 4x² − 4x + px² − x + q Kroki jakie teraz wykonam : 1.Z pierwszej trójki wyciągne x przed nawias 2. Uporządkuję pozostałe wyrazy względem potęg x x(x² + 4x + 4) (p−4)x² −5x + q Znowu patrzę na najwyższe potęgi : pierwsza jest równa 1 druga jest równa (p−4) i teraz znowu będę chciał wyciągnąć x² + 4x + 4 przed nawias. Tylko sprawa tutaj się troszkę komplikuje. po wyciągnięciu otrzymam coś takiego : (p−4)(x² + 4x + 4) (stoi przy najwyższej potędze) wiec teraz postaram się dodać i odjąć coś aby móc to wyciągnąć przed nawias. x(x² + 4x + 4)+(p−4)x² −5x + q = x(x² + 4x + 4) + (p−4)x² + (p−4)4x + (p−4)4 − (p−4)4x − (p−4)4 − 5x + q = x(x² + 4x + 4) + (p−4)(x² + 4x + 4) − (p−4)4x − 5x − 4(p−4) + q Teraz uporządkuję te dwa ostatnie wyrazy które będą naszą resztą. Oraz wyciągnę (x² + 4x + 4)przed nawias. x(x² + 4x + 4) + (p−4)(x² + 4x + 4) − (p−4)4x − 5x − 4(p−4) + q = (x² + 4x + 4)(x − p + 4) + (−4p +11)x − 4p + 16 + q Teraz otrzymaliśmy : (x² + 4x + 4) jest to wielomian przez któryś my dzielili (x−p+4) jest czynnikiem zbędnym w tym zadaniu (wielomian który powstał z podzielenia + (−4p +11)x − p + 4 + q − to reszta z dzielenia. Teraz wystarczy ułożyć układ równań. + (−4p +11)x − 4p + 16 + q − reszta którą otrzymaliśmy −x+1reszta w zadaniu. Porównując współczynniki przy x oraz wyrazie wolnym : −4p + 11 = −1 ⇒ p = 3 −4p + 16 + q = 1 −4p + 16 + q = −1 −4p + q = −15 −12 + q = −15 q = −3 Na pewno polubisz tą metodę

Godzio: Jesteś maniaksem ICSP

świąteczny ICSP: Po prostu nie mogę spać

Bartek: Powoli przez to się przetaczam jakoś. W tej chwili utknąłem na tym: "Kroki jakie teraz wykonam : 1.Z pierwszej trójki wyciągne x przed nawias 2. Uporządkuję pozostałe wyrazy względem potęg x x(x2 + 4x + 4) (p−4)x2 −5x + q" Czy między x(x2 + 4x +4) a (p−4)x2 nie powinien być znak "+" Bo później się on już pojawia... "Znowu patrzę na najwyższe potęgi : pierwsza jest równa 1 druga jest równa (p−4) i teraz znowu będę chciał wyciągnąć x2 + 4x + 4 przed nawias. Tylko sprawa tutaj się troszkę komplikuje. po wyciągnięciu otrzymam coś takiego : (p−4)(x2 + 4x + 4)" Nie bardzo widzę jak z postaci x(x2 + 4x + 4) + (p−4)x2 −5x + q dojść do (p−4)(x2 + 4x + 4) ?

świąteczny ICSP: 1. Tam powinien być znak + 2. x(x² + 4x + 4) + (p−4)x² −5x + q Pierwsza cześć będzie przepisywana więc mnie nie interesuje. (p−4)x² − 5x + q chcę wyciągnąć x² + 4x + 4 więc aby otrzymać (p−4)x² muszę przemnożyć x² poprzez (p−4) (p−4)(x² + 4x + 4) wymnażam to i otrzymuję : (p−4)x² + 4(p−4)x + 4(p−4) czerwoną część już mam. Więc teraz muszę dodać zieloną cześć. Jednak jeżeli coś dodaje muszę to później odjąć. Otrzymuję : [(p−4)x² + 4(p−4)x + 4(p−4)] − 4(p−4)x − 4(p−4) − 5x + q. Jak przed chwilą wykazałem z wyrażenia w nawiasie : [] mogę wyłączyć (p−4) i otrzymam (x² + 4x +4). mam więc : x(x² + 4x + 4) + (p−4)(x² + 4x + 4) − 4(p−4)x − 4(p−4) − 5x + q

Bartek: Dobra. Tę część załapałem. Analizuję dalszą część twoich objaśnień.

Bartek: "x(x2 + 4x + 4) + (p−4)(x2 + 4x + 4) − (p−4)4x − 5x − 4(p−4) + q = (x2 + 4x + 4)(x − p + 4) + (−4p +11)x − 4p + 16 + q" Część "(−4p +11)x − 4p + 16 + q" oczywiście całkowicie rozumiem. Jednak czy po znaku "=" nie powinno być zamiast "(x2 + 4x + 4)(x − p + 4)" coś takiego "(x2 + 4x + 4)(x + p − 4)" Chodzi o drobny błąd w znakach + −.

świąteczny ICSP: powinno. Chyba nie powinienem rozwiązywać zadań o takiej porze Przepraszam za te błędy

Bartek: ICSP, ja jestem wręcz zaszczycony, że mogłem je dostrzec. Nie przepraszaj.