koła wpisane w kąt, zad z ciągów matroz: W kąt o mierze 60 stopni wpisano koło, a następnie dopisano jeszcze cztery koła tak, że każde następne jest styczne zewnętrznie do poprzedniego i do ramion kąta. a)uzasadnij, że długości promieni tych kół tworzą ciąg geometryczny. b)oblicz, ile razy suma pól wszystkich pięciu kół jest większa od pola najmniejszego koła. proszę o pomoc, nie mam pomysłu jak to zrobić, intuicja podpowiada mi że q bd wynosiło 2 (każdy następny promień 2 razy większy od poprzedniego) tylko nie wiem jak to udowodnić. Życzę wesołych świąt i szczęśliwego Nowego Roku! Powodzenia w przygotowaniach do matury

ICSP: http://imageshack.us/photo/my-images/685/20111224185002.jpg/ − masz jeszcze powiedzieć że ładny. Przypadek pierwszy I : najpierw trzeba udowodnić. To akurat nie problem. Masa tójkątów podobnych. ∡ACB = 60^o = ∡ DEB = ∡ CFB

	|AC|		|DE|
czyli		=		= bla bla bla .
	|DE|		|GF|

c.n.u. Udowodnione. Teraz "zabawa" oznaczmy : |AC| = a₁ |DE| = a₂ itd. wtedy oczywiste zależności to : |AC| = a₁ |DE| = a₂ mniej oczywiste to : |CE| = a₁ + a₂. |ZC| = a₁ − a₂ |CB| = 2a₁

	|ZC|		|AC|
z cechy kkk udowadniam : ΔZCE ~ ΔACB czyli :		=
	|EC|		|CB|

a1		a1 −a2
	=
2a1		a1 + a2

2a₁ − 2a₁ = a₁ + a₂ a₁ −3a₂ = 0 a₁ = 3a₂

a1
	= 3
a2

a2		1
	=		= q
a1		3

Pole najmniejszego koła to πa₁² Mamy więc ciąg geometryczny : a₁²π to będzie b₁

	1
q =
	9

szukamy S₅ oraz niestety b₅

	1
b5 = a12π *
	6561

S₅ = a₁²π * U{7381}{6561

S5
	= ... = 7381
b5

II przypadek udowodnienie identyczne. Obliczenia bliźniaczo podobne tylko q = 3. Nie ma sensu abym to pisał jeszcze raz.

ICSP: Punkt Z jest spodkiem wysokości EZ w trapezie ACDE

świąteczny ICSP: No i muszę poprawić.. Widać że nie świąteczny ja sie pomylił.

	1
Pole najmniejszego koła to b5 = a12π *
	6561

matroz: Na początku − serdeczne dzięki za pomoc, widać, że się napracowałeś. Teraz pytania: Dlaczego masz dwa rysunki(oczywiście, pięknie namalowane)? Można okręgi rozłożyć na 1 sposób. Rozumiem do − cytuję:"mniej oczywiste to : |CE| = a1 + a2. " dalej nie wiem czemu |ZC| = a1 − a2 oraz |CB| = 2a1 − nie jestem przekonany czy to prawda.. ΔZCE ~ ΔACB − tutaj to jestem przekonany że to nieprawda, nie są podobne Dalsza droga − tutaj nie mam problemu ze zrozumieniem, zrobione na podstawie poprzednich założeń Wynik (7381) masz dobry, więc tam, gdzie pisałem że masz wg mnie źle, też masz dobrze. Proszę Cię więc o wytłumaczenie wymienionych przeze mnie nieścisłości. pozdrawiam. PS.Gratuluję, mój nauczyciel zrobił to źle.

świąteczny ICSP: http://imageshack.us/photo/my-images/856/20111225233835.jpg/ Pytania jeśli dobrze zrozumiałem : 1. Dlaczego mam dwa rysunki? 2. Skąd się wzięły mniej oczywiste? 3. Podobieństwo? Zrobiłem nowy dokładniejszy rysunek. Pytanie1 Moje rozumowanie opierało się na narysowaniu kąta oraz wpisaniu do niego jednego okręgu. Najpierw zacząłem wpisywać kolejne. Mogę to zrobić w dwie strony. Stąd te dwa rysunki. Myślę jednak że rozpatrzenie jednego z przypadków da odpowiedź i nie trzeba rozpatrywać dalej. Pytanie2 Czworokąt ZCDE to trapez prostokątny. Mamy więc następująco : |AC| = |AZ| + |ZC| ale wiemy przecież że |DE| = a₂ oraz że |AC| = a₁ ponieważ są to promienie okręgów. |AC| = |AZ| + |ZC| a₁ = |ZC| + a₂ |ZC| = a₁ − a₂ jak spojrzysz na rysunek zobaczysz że odcinek |CE| przechodzi przez punkt styczności dwóch okręgów ⇒ jest sumą ich promieni. Wszystko opiera się na dobrym rysunku w tym zadaniu. Pytanie3 rozpatrzmy trójkąty : ΔACB oraz ΔZCE mają one wspólny kąt : ∡BCA dodatkowo kąt ∡BAC = 90^o = ∡ EZC skoro dwa trójkąty mają takie same kąty są do siebie podobne: https://matematykaszkolna.pl/strona/531.html − trzecia cecha kkk teraz ostatnie pytanie. Wracamy do punktu drugiego Pytanie2 W Pytaniu3 wykazałem że ΔACB ma kąty 90^, 60^o, 30^ Teraz z funkcji trygonometrycznych układam równanie :

|AC|
	= sin30o
|BC|

|AC|		1
	=		⇔ |BC| = 2|AC| = 2a1
|BC|		2

matroz: dzięki, teraz wszystko zrozumiałem pozdrawiam