Ciągi :): Piramida w której warstwa wynosi a_n = n² Jaki jest wzór na sumę warstw ?

AS:

	1
S =		*n*(n + 1)*(2*n + 1)
	6

:): Jak wyprowadzić ten wzór ?

AS: Potrzebny będzie znany z ciągu arytmetycznego wzór na sumę

	n
Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =		*(n + 1)
	2

Oznaczmy S = 1¹ + 2² +...+ n² Korzystamy z tożsamości (x + 1)³ − x³ = 3*x² + 3*x + 1 Dla x = 1,2,3,...n otrzymujemy 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 + 1 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 4³ − 3³ = 3*3² + 3*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)³ − n³ = 3*n² + 3*n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)³ − 1³ = 3*(1² + 2² +3² + ... + n²) + 3*(1 + 2 + 3 + ... + n) + n

	n
(n + 1)3 − 13 = 3*S + 3*		*(n + 1) + n
	2

	3		3
n3 + 3*n2 + 3*n + 1 − 1 = 3*S +		*n2 +		*n + n |*2
	2		2

2*n³ + 6*n² + 6*n = 6*S + 3*n² + 3*n + 2*n 6*S = 2*n³ + 3*n² + n 6*S = n*(2*n² + 3*n + 1)

	1
S =		*n*(n + 1)*(2*n + 1)
	6