udowodnij ze
Wojtek: Udowodnij, że jeżeli {an} jest ciągiem ograniczonym, zaś {bn} zbieżnym do 0, to
limn→∞an*bn=0.Korzystająć z tych danych olicz:
| | n | |
1)limn→∞ |
| *sin(3n+1) |
| | n2+1 | |
| | 1+2+...+n | |
2)limn→∞ |
| * cos n! |
| | n3+1 | |
Basia:
dowód:
lim
n→+∞ b
n = 0 ⇔ ∀
ε>0 ∃
n0 ∀
n>n0 |b
n|<ε
a
n jest ograniczony ⇔ ∄
N ∀
n |a
n| ≤ N
badamy, kiedy
|a
n*b
n| < ε ⇔
|a
n|*|b
n| < ε
ponieważ |a
n|≤N wystarczy aby
|a
n|*|b
n| ≤ N*|b
n| < ε
czyli wystarczy aby
co zachodzi dla dowolnego ε na mocy tego, że b
n →0
co kończy dowód
wskazówki
ad.1
−1 ≤ sin(3n+1) ≤1
ad.2
−1 ≤ cosn! ≤1