Przestrzenie wektorowe... ICSP: Mam takie zadanko: Zbadać liniową niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: 6. (1,2,0,4) , (−1,0,5,1,) , (1,6,10,14) robię to tak: α(1,2,0,4) + β (−1,0,5,1,) + γ(1,6,10,14) = (0,0,0,0) i układam układ równań: α−β+γ = 0 ⇔ β = α + γ α + 3γ = 0 β + 2γ = 0 2α + 7γ = 0 wstawiam β do druiego równani i wychodzi mi pierwsze równanie. Dlatego skreślam drugie równanie i dostaje: α + 3γ = 0 2α + 7γ = 0 ⇔ α = 0 i γ = 0 α = 0 β = 0 γ = 0 liniowo niezależne dobrze?

Trivial: Najlepiej po prostu zastosować eliminację dla macierzy utworzonej z tych wektorów. Jeśli można otrzymać wiersz zer, to są współliniowe. Jeśli nie, to nie. 1 2 0 3 −1 0 5 1 1 6 10 14 w₃ += w₂ w₂ += w₁ 1 2 0 3 0 2 5 4 0 6 15 15 w₃ −= 3*w₂ 1 2 0 3 0 2 5 4 0 0 0 3 Nie są współliniowe.

ICSP: Jeszcze nie mieliśmy tej metody Teraz myślę nad czymś takim: Uzasadnić liniową zależność podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinację liniową pozostałych. (1,2), (2,3),(3,4) w R² to tka samo się robi? α + 2β + 3γ = 0 2α + 3β + 4γ = 0 −4β − 6γ +3β + 4γ = 0 −β − 2γ = 0 Nieskończenie wiele rozwiązań czyli liniowo zależne.

Trivial: ICSP, my nigdy jej nie mieliśmy, ale jest prosta i przyjemna (tak na prawdę liczymy rząd i sprawdzamy czy r = 3). 3 wektory w R² muszą być liniowo zależne, gdyż 3 > 2. Wystarczy rozwiązać układ równań, np taki:

	1 2		2 3		3 4
x		+ y		=

1 2 2 3	x y		3 4
		=		.

ICSP: ale czy mój sposób do drugiego zadania jest poprawny?

Trivial: W ogólności tak, ale w poleceniu kazali znaleźć takie x,y, że x*u + y*v = w. u,v,w = dane wektory.

ICSP: czyli : α(1;2) + β(2;3) = (3;4)

Trivial: Tak. Napisałem wyżej układ równań do rozwiązania. Można wybrać inaczej, np.:

	1 2		3 4		2 3
x		+ y		=

Kolejność nie ma znaczenia. Można zgadywać.

ICSP: NO to teraz już pójdzie łatwo

ICSP: Do odpowiedzi wystarczy podać α i β ?

Trivial: Do odpowiedzi najładniej zapisać jakoś tak:

	1 2		3 4		2 3
"Na przykład 2*		+ 3*		=		, czyli liniowo zależne."

oczywiście 2 i 3 nie są rozwiązaniami.

ICSP: wiem Dziękuję bardzo Jutro zajmiemy się podprzestrzeniami