Bardzo proszę o pomoc Kasiula: Udowodnić,że dla każdej naturalnej liczby n: a)liczba n³-n jest podzielna przez 6 b)liczba n⁵-n jest podzielna przez 5 c)liczby n³+11n i n³+19n są podzielne przez 6

Eta: Pomagam

Eta: Można ten dowód przeprowadzić indukcyjnie! można też tak: a) n³ - n = n( n² -1) = n( n-1)(n+1) = (n-1)*n*(n+1) masz iloczyn kolejnych liczb naturalnych! wśród tych liczb jest liczba podzielna przez 2 i podzielna przez 3 więc iloczyn podzielny przez 6 co kończy dowód liczba postaci n³ - n jest podzielna przez 6 i n€N b) n⁵ - n = n(n⁴-1) = n( n-1)(n+1)(n² + 1)= n(n-1)(n+1) ( n² - 4 +5) = (n(n-1)(n+1)( n² -4)+ 5n(n-1)(n+1)= =n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) +5n(n-1)(n+1)= = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5n( n-1)(n+2) w pierwszej części sumy jest pięć kolejnych liczb naturalnych więc iloczyn podzielny przez 5 następny składnik ma w iloczynie 5n ---więc tez podzielny przez 5 wniosk cała liczba jest podzielna przez 5 podobnie zad: c) n³ +11n = n( n² +11) = n( n² - 1 +12)= = n( n-1)(n +1) + 12n pierwszy składnik podzielny przez 6 ( jak w zad a) drugi 12n też podzielny przez 6 zad ostatnie podobnie , dasz juz radę !

Eta: w ostatnim zadaniu masz chyba bład w zapisie! powinno być n³ +17n ( bo przy n³ +19n --- nie jest podzielna przez 6) to: więc n³ +17n = n(n² +17) = n( n² - 1 +18)= = n( n-1)(n +1) + 18n czyli podobnie uzasadniając jest podzielna przez 6