. Tyrla: Wykaż że dla dowolnych a∈R+ i b∈R+ zachodzi nierówność: 2 _________ ≤ √ab 1/a + 1/b

Patronus: hmm,

	2		2ab
L=		=
	b+aab		a+b

	ab		2ab
P=√ab =		=
	(ab)2		2(ab)2

No to moim zdaniem b+a < 2 (ab)² np. dla a=2, b=4 i wtedy L ≥ P Może a lub b ∊R₋?

Patronus: ale chyba coś źle zrobiłem , bo jak podstawiam 2 i 4 do oryginalnej nierówności to wychodzi dobrze

Tyrla: Mi na koncu wyszlo tak (ab)(a−b)² ≥0

Patronus: taa,

	ab		2ab
P= √ab =		=
	(ab)−1/2		2(ab)−1/2

Tyrla: Czyli mam dobrze

Patronus: no to wyszło ok, bo skoro a∊R₊ i b∊R₊ to pomnożone przez siebie dają liczbę nieujemną i pomnozone przez kwadrat też dają liczbę nieujemną A jak do tego doszłaś?

Tyrla: 2/[(1/a)+(1/b)]≤√(ab) 2/[(b/(ab)) + (a/(ab) ]≤√(ab) 2/[( a + b) / (ab) ]≤√(ab) (2/1)*[ (ab)/(a+b)]≤√(ab) (2ab)/(a+b)≤√(ab) /()² (2ab)²/(a+b)²≤ ab / *(a+b)² (2ab)²≤ (ab) (a+b)² 4a²b² ≤ ab (a²+2ab+b²) 4a²b²≤ a³b+2a²b²+ab³ 4a²b² − a³b − 2a²b² − ab³ ≤0 2a²b² −a³b − ab³ ≤ 0 ab(−a²+2ab−b²)≤0 (ab)*(−1)*(a²−2ab+b²)≤0 /:(−1) (ab)(a²−2ab+b²) ≥ 0 (ab)(a−b)² ≥ 0

Tyrla: Czyli L ≥ P tak ?

Patronus: Tylko skoro mamy to udowodnić, to powinnaś przekształcając lewą stronę dojść do prawej. Nie możesz podnosić nierówności obustronnie do kwadratu i mnozyc, bo jeszcze nawet nie wiemy czy jest prawdziwa

Tyrla: Ok. Czyli jaka jest odp. ?