CIAGI bożena: Pomocy! Dany jest ciąg(1331, 1030301, 1003003001,..), w którym wyrazy otrzymujemy przez zwiększenie o jeden liczby zer napisanych między każdymi dwiema kolejnymi cyframi rożnymi od zera.Napisz wzór ogólny tego ciągu.

Bogdan: Ciąg(a_n): a₁ = 1331 = 1*10³ + 3*10² + 3*10¹ + 1*10⁰ = 10³ + 3*10² + 3*10¹ + 1 = = 11³ = (10¹ + 1)³ a₂ = 1*10⁶ + 3*10⁴ + 3*10² + 1*10⁰ = (10²)³ + 3*(10²)² + 3*(10²)¹ + 1 = = 101³ = (10² + 1)³ a₃ = 1*10⁹ + 3*10⁶ + 3*10³ + 1*10⁰ = (10³)³ + 3*(10³)² + 3*(10³)¹ + 1 = = 1001³ = (10³ + 1)³ ......... a_n = (10ⁿ + 1)³

bożena: Bogdanie a czy może być tak? a_n=1*10³ⁿ+3*10²ⁿ+3*10ⁿ+1 i bardzo dziękuję za rozwiązanie

Bogdan: Rozwiniemy (10ⁿ+ 1) wzorem skróconego mnożenia (a + b)³ = a³+ 3a²+ 3ab²+ b³ (10ⁿ+ 1)³ = 10³ⁿ+ 3*10²ⁿ*1 + 3*10ⁿ*1² + 1³ = 10³ⁿ+ 3*10²ⁿ + 3*10ⁿ + 1 Jak widzisz, to jest to samo wyrażenie, chociaż w postaci (10ⁿ + 1)³ jest prostsze i bardziej eleganckie

bożena: tak widzę i jeszcze raz dziękuję