Równania w liczbach całkowitych Sebek: Sprawdzenie równań w liczbach całkowitych Witam serdecznie, proszę o sprawdzenie i ewentualne wskazanie błędów w równaniach. Polecenie: Rozwiąż w liczbach całkowitych. Przykład a) 5x−2y=−1 5x=−1+2y /:5

	−1+2y		1		−1+y
x=		=		y +
	5		5		5

	1		−1+y		1
x=		y+		=		y + t
	5		5		5

−1 + y = 5t y = 5t+1

	−1+2(5t+1)		−1+10t+2		1+10t
x=		=		=
	5		5		5

Przykład b) 10x+7y=97 10x=97−7y /:10

	97−7y		3		7−y		3
x=		= 9−		+		=9−		+t
	10		5		10		5

	7−y
t=		/*10
	10

10t = 7−y 7−y = 10t y=−10t+7

	97−7*(−10t+7)		97+70t−49		48+70t
x=		=		=
	10		10		10U

Proszę o sprawdzenie.

Sebek:

Sebek:

Sebek:

AS: Podstawowa zasada wybierać niewiadomą z mniejszym współczynnikiem

	5*x + 1		x + 1		x + 1
y =		= 2*x +		= 2*x = t gdzie t =
	2		2		2

	x + 1
t =		=> x = 2*t − 1
	2

y = 2*x + t = 2*(2*t − 1) + t = 5*t − 2 Rozwiązaniem: x = 2*t − 1 , y = 5*t − 2 , t ∊ C Sprawdzam 5*(2*t − 1) − 2*(5*t − 2) = 10*t − 5 − 10*t + 4 = −1 . L = P Przykładowe pary rozwiążań t x y −−−−−−−−−−−−−− 2 3 8 −3 −7 −17 50 99 248

Sebek: No dobrze, ale czy moje jest złe? Przecież to z czego wyznaczę x, y chyba nie ma znaczenia poza tym, że dla jednych może się trudniej liczyć. Jeśli się mylę, to mnie wyprowadź z błędu. Twoje rozwiązanie w ogóle mi nie pomaga − ponieważ nie wiem dlaczego mój wynik jest zły i gdzie robię błąd. To nie jest praca domowa, żebym potrzebował samych rozwiązań / wyników. Do swojego również mogę napisać sprawdzenie: t x y −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
2 4		11
	5

	1
0		1
	5

−3 −5{4}{5} −14 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Podstawiając pod 5x−2y=−1

	1
2) 5*(4		) − 2*11 = −1
	5

	1
0) 5*(		) −2*1 = −1
	5

−3) 5*(−5{4}{5}) − 2*(−14) = −1 Zamiast rozwiązań chciałbym wskazanie błędów w moich obliczeniach. Czy jeśli zacznę od większego współczynnika, będzie to błędem i rozwiązania wyjdą nieprawidłowe? Dlaczego?

AS: Już w samym założeniu masz błąd, rozwiązania mają być w liczbach całkowitych a y/5 tylko dla niektórych y będzie całkowity. Nie musisz ale obliczenia będą dłuższe.

	2*y − 1
x =
	5

Przyjmuję 2*y − 1 = 5*t ; x = t gdyż x ma być całkowite

	5*t + 1		t + 1		t + 1
Wtedy y =		= 2*t +		= 2*t + t1 gdzie t1 =
	2		2		2

Z ostatniego mamy t = 2*t1 − 1 Ostatecznie x = t = 2*t1 − 1 y = 2*t + t1 = 2*(2*t1 − 1) + t1 = 5*t1 − 2 Odp. x = 2*t − 1 , y = 5*t − 2 , t ∊ C Spr.5*(2*t − 1) − 2*(5*t − 2) = 10*t − 5 − 10*t + 4 = −1

Sebek: Super, poprzednio ktoś mi powiedział, że zawsze muszę dążyć do tego, by w liczniku mieć y bądź y (bez żadnych liczb). Teraz właściwie nie wiem, na jakiej podstawie formułować założenie − bo ja na pierwszy rzut oka nie widzę, czy rozwiązanie wyjdzie w liczbach całkowitych. Jak już mam założenie − to dalej sobie poradzę. Mógłbyś podpowiedzieć, do jakiej formy doprowadzać te równania?

AS: Rozszerzam temat a*x + b*y = c − warunek liczby a i b są pierwsze względem siebie. [1] Pierwiastkami równania [1] są liczby x = xo − b*t, y = yo + a*t gdzie (xo,yo) są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie [1] Przypadki szczególne Wolny wyraz c = 0 Wtedy mamy jedno rozwiązanie xo = 0 , yo = 0 , x = +/− b*t , y = −/+ a*t Jeżeli c jest wielokrotnością jednego ze współczynników np. c = a*c1 mamy a*x + b*y = a*c1 Kładąc yo = 0 ,otrzymujemy xo = c1 i ostatecznie x = c1 − b*t , y = a*t Jeżeli jeden ze współczynników = 1 np. a = 1 i x + b*y = c to możemy wyrazić x jako funkcję y x = c − b*y gdzie y jest dowolną liczbą całkowitą. x = c − b*t , y = t Przykłady 12*x − 11*y = 0 => x = 11*t , y = 12*t , t ∊ C 25*x − 21*y = 60 Wybieram jako punkt wyjściowy y − bo ma mniejszy współczynnik

	25*x − 60		4*x − 18		2*x − 9
y =		= x − 2 +		= x − 2 + 2*
	21		21		21

	2*x − 9		21*t + 9		t1 + 1
y = x − 2 + 2*t1 gdzie t1 =		=> x =		= 10*t1 + 4 +
	21		2		2

	t1 + 1
x = 10*t1 + 4 + t gdzie t =		=> t1 = 2*t − 1
	2

x = 10*(2*t − 1) + 4 + t = 21*t − 6 y = 21*t − 6 + 2*(2*t − 1) = 25*t −10 i t ∊ C