monotonicznosc Wojtek: zbadac monotonicznosc ciagu √n+2−√n

Basia: przekształć

	(√n+2−√n)(√n+2+√n)		2
an =		=
	√n+2+√n		√n+2+√n

	2
an+1 =
	√n+3+√n+1

√n+3 > √n+2 √n+1 > √n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √n+3+√n+1 > √n+2+√n

2		2
	<
√n+3+√n+1		√n+2+√n

Wojtek: możesz wytłumaczyć mi jak to przekształciłas? √n+2−√n na to co ty napisałaś an=....

Basia:

	a*b
wolno pomnożyć i podzielić przez to samo b≠0 ? wolno; a =
	b

no to pomnożyłam i podzieliłam przez √n+2+√n

Wojtek: no tak bo po skruceniu pierw z n+2 + p.n da mi to samo co miałem wcześniej, gryzie mnie też wynik tego an a dokładniej ta 2

Wojtek: ok wiem uzyłaś wz skruconego mnozenia

Basia: skróceniu

Wojtek: nie wytykaj mi błędów zajmujemy się matematyką

Basia: z polskiego też będziesz zdawać maturę; a wiedzy wszelakiej nigdy za wiele też się mylę i jak zauważysz możesz napisać

Wojtek:

	4
ok. w an+1 w wyniku wychodzi mi		nie wiem czy to u mnie czy u ciebie błąd
	√n+3+√n+1

Basia: a to jakim cudem ? a_n+1 = √n+3 − √n+1 =

(√n+3 − √n+1)(√n+3+√n+1
√n+3+√n+1

(n+3) − (n+1)
√n+3+√n+1

Wojtek: mi się wydaje że tych nawiasów się pozbyłem w liczniku, były mi potrzebne do poprawnego zapisania, (√n+3)²−(√n+1)²=n+3−n+1=4 mi się wydawało ze tak mam zrobić

Basia: a = √n+3 a² = n+3 b = √n+1 b² = n+1 a²−b² = (n+3) − (n+1) = n+3 − n −1

Wojtek: ok to juz wytlumaczyłas a teraz √n+3 > √n+2 √n+1 > √n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √n+3+√n+1 > √n+2+√n ,,,,,,,,,,,, tu sprawdziłaś które wyrażenie jest większe i wyszło to po lewej stronie a później zmieniłaś zanak nie wiem dlaczego?

Wojtek: aha ogarnołem czyli wychodzi że jest to ciag malejący bo wyraz następny jest mniejszy od poprzedniego

Wojtek:

	an+1
a możesz mi wytłumaczyć jak robić to tym sposobem:
	an

Basia: mogę, ale po co utrudniać sobie proste rzeczy

an+1		2		√n+2+√n
	=		*		=
an		√n+3+√n+1		2

√n+2+√n
	< 1
√n+3+√n+1

co trzeba uzasadnić tak samo jak poprzednio

Wojtek: ty wytlumaczylas mi inaczej a wczoraj ktoś mi inaczej tlumaczyl i nie wiedzialem o co mu chodzi

Wojtek: mam kolejny przykład

	2n
fn=
	n!

czyli

	2n+1		2n*21
fn+1=		=
	(n+1)!		(n+1)!

fn+1		2n*2		n!		n!
	=		*		=
fn		(n+1)!		2n		(n+1)!

ale nie wiem co dalej

Basia: ostatnia równość jest niepoprawna

	n!
= 2*		=
	(n+1)!

	1*2*....*(n−1)*n		2
2*		=		≤ 1
	1*2*....*(n−1)*n*(n+1)		n+1

czyli a_n+1 ≤ a_n i to jest ciąg nierosnący (ale nie jest malejący bo a₁ = a₂ = 2)

Wojtek:

	n!
ale dlaczego jest nie poprawnie chodzi ci o
	(n+1)!

Basia: nie; o liczbę 2

22*2
	= 2
2n

Basia:

	2n*2
tzn:		= 2
	2n

Wojtek: czekaj ale u mnie tak niema ja podzieliłem fn+1 przez fn czyli dzielenie = mnożenie przez

	n!
odwrotność drugiego skróciłem ze sobą 2n i wyszedł mi wynik
	(n+1)!

Basia: popatrz co sam napisałeś o 21:27 ostatnia linijka

2n*2		n!
	*		( i to jest dobrze)
(n+1)!		2n

2ⁿ się skraca, 2 zostaje

Wojtek: a no tak 2 nie przepisałem

Wojtek: ok już wszystko jasne a jak sobie radzisz z granicami ciągu