zespolone Atola: Równanie−liczby zespolone z³*|z|=8z⁻ z⁻ − to jest z sprzężone

Atola: up

Atola: up

pomagacz: no nie wiem, liczyłem to podstawiając za z=a+bi ale kosmos wyszedł podstaw za z=a+bi, podnieś wszystko do kwadratu

pomagacz: (a+bi)³(√a²+b²)=8(a−bi) //⁽²⁾ (a+bi)⁶(a²+b²)=(8a−8bi)² i teraz zacznij liczyć

pomagacz: później ustaw liczby tak aby: Re₁ + Im₁ = Re₂ + Im₂ i wtedy robisz układ równań dla:

⎧	Re1 = Re2
⎩	Im1 = Im2

Atola: raczej tak się tego nie rozwiązuje, i wąłśnie myślałam ze ktoś wie jak to w mierę prsto rozwiązać

AC: Lepiej tak: r³e^i3φr = 8re{−iφ}

	π
r3ei4φ = 8 ⇒ r=2 φ=k		gdzie k=1;2;3;4
	2

Czyli z₁= 2i z₂= −2 z₃= −2i z₄= 2

Godzio: Profesor nam zawsze zwraca uwagę, żeby pamiętać o przypadku gdy r = 0, to co rozwiązujesz jest dla r > 0

AC: OK! dla r=0 redukuje się do trywialnego 0=0

AC: czyli jest piąte rozwiązanie z₅ =0

Atola: dzięi wielkie wiedziaam, ze jest jakaś prosta metoda moglibyście mi jeszcze pomóc w taki zadaniu: zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiór: {z∊C: z⁴=(4i−3)⁶}

AC:

	−3		4
z4= 56(		+ i		)6
	5		5

	4
sinφ =
	5

z⁴ = 5⁶e^{i(6φ + 2kπ)} z= √125e^{i(3/2φ + 1/2kπ)} Czyli będą to 4 punkty dla k=0; 1; 2; 3

Atola: nie rozumiem tego przejścia na postać wykładniczą...

AC: r=√a² +b²=5

	−3		4
−3 + i*4 = 5(		+ i		)
	5		5

Atola: no tak to wiem ale dlacego tam wykładnik e jest (6φ+2kπ) ?

AC: dalej

	4
= 5(cosφ + i sin φ) = 5 eiφ gdzie φ=arcsin
	5

AC: bo (e{iφ})⁶ = e{i6φ}= e^i6φ=e^i(6φ+2kπ) ta ostania równość wynika z okresowości funkcji trygonometrycznych

Atola: aha