.... Grześ1992: witam mam problem z całką robię już ją chyba na 5 różnych sposobów i wychodzi mi ten sam wynik, a w książce jest inny możecie mi powiedzieć jak mogę w miarę szybko sprawdzić, że mój wynik jest poprawny ? Najlepiej jakby ktoś mi powiedział czy mam dobrze: ∫xarctg²xdx moja

	1		1		1		1		1
odp.:		arctg2x−		x3arctgx+		x4+		x2−xarctgx+		ln(1+x2)+C
	2		3		12		6		2

Grześ1992: może ktoś jednak,by mi pomógł ?

pomagacz:

	⎧	f = atan2(x) g' = x |
∫xatan2(x)dx=	⎩	f' = 2cot(x)x2 + 1 g = x22|	=

= f*g − ∫g*f' = ... takim sposobem liczysz?

Basia:

	2cot(x)
a dlaczego f' =		?
	x2+1

to zapewne literówka, ale powinno być

	2atan(x)
f' =
	x2+1

Grześ1992: tak

Grześ1992: dokladnie jak Basia mówi

Grześ1992: i może jest jakiś sposób, żeby to sprawdzić czy to jest dobry wynik ?

Basia: właśnie myślę, czy można inaczej, ale chyba nie spróbuję to policzyć

Grześ1992: super dzięki wiem, że to dosyć czasu zajmuję...

Grześ1992: i jak idzie ?

Basia: beznadziejnie; skasowałam sobie cały wpis, a chyba już było blisko końca chyba wezmę jednak kartkę i długopis

Grześ1992: noo na kartce wystarczy...

Grześ1992: jeżeli na prawdę nie będe wiedział jak to zrobić to byś mogła mi fotke wysłać na maila

Grześ1992: i jak masz już jakieś rozwiązanie ? może jednak ja się myliłem a w książce jest dobrze...

Trivial: Daj odpowiedź z książki, zobaczymy czy dobra.

Grześ1992: moment

Basia: proponuję tak J = ∫x*arctg²x dx

	1
f(x) = arctg2x f'(x) = 2arctgx*
	1+x2

	x2
g'(x) = x g(x) =
	2

	x2*arctg2x		x2
J =		− ∫		*arctgx dx
	2		1+x2

	x2
J1 = ∫		*arctgx dx
	1+x2

	1
f(x) = arctgx f'(x) =
	1+x2

	x2		1+x2−1		1
g'(x) =		=		= 1 −
	1+x2		1+x2		1+x2

g(x) = x − arctgx

	x−arctgx
J1 = (x−arctgx)*arctgx − ∫		dx =
	1+x2

	x		arctgx
(x−arctgx)*arctgx − ∫		dx + ∫		dx
	1+x2		1+x2

te dwie ostatnie całki to już chyba nie problem

Grześ1992:

1		1		1
	x2arctg2x−xarctgx++		arctg2x+		ln(x2+1)+C
2		2		2

Basia: zgadza się z tym co policzyłam

Basia: tylko trzeba skończyć i pododawać wyrazy podobne potrafisz już chyba ?

Grześ1992: ok dzięki

Grześ1992: tak potrafię

Trivial: No to liczymy pochodną i sprawdzamy

	1		1		1
y =		x2arctan2x − xarctanx +		arctan2x +		ln(x2+1) + c.
	2		2		2

	x2arctanx		x		arctanx		x
y' = xarctan2x+		−arctanx−		+		+
	x2+1		x2+1		x2+1		x2+1

	x2arctanx		arctanx
= xarctan2x +		− arctanx +
	x2+1		x2+1

	x2arctanx		x2arctanx+arctanx		arctanx
= xarctan2x +		−		+
	x2+1		x2+1		x2+1

= xarctan²x = OK.