Granica ciągu Norbert:

	n√n!
Wyznaczyć granicę ciągu
	n

W podpowiedzi jest napisane, że trzeba skorzystać z tego, że kryterium d'Alemberta jest 'słaszbe' od kryterium Cauchy'ego, czyli d'Alambert => Cauchy Będę wdzięczny za rozwiązanie tego.

Norbert: Podbijam.

ZKS: Musisz skorzystać z kryterium d'Alemberta ponieważ jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek Cauchy'ego.

	an + 1
limn → ∞		= q jeśli q > 1 to rozbieżny jeśli q < 1 to zbieżny.
	an

Norbert: To ja wiem, tylko nie wiem jak obliczyć to zadanie Po prostu rachunkowo jakbym nie kombinował to wychodzi mi symbol nieoznaczony Nie mam ogólnie problemu z zadaniami tego typu, ale tu jest pierwiastek n−tego stopnia, co po zastosowaniu d'Alemberta daje pierwiastek stopnia n+1 i rachunki są trudne.Ale dzięki za odpowiedź.

Norbert: .

ZKS: To zapisz tutaj co Ci powychodziło to się zobaczy.

Norbert: Jest tego dwie strony A4, bo próbowałem różnymi metodami to policzyć Jednak na prawdę nie było tam nic sensownego co mógłbym z tego wycisnąć. Muszę po prostu nie widzieć jakiegoś sprytnego przekształcenia, a im dłużej nad tym myślę, tym mniej widzę.

ZKS: Spróbuję zapisać to.

AC: Mówimy o granicy ciągu czy badamy zbieżność szeregu?

ZKS:

	[(n + 1)!]1/(n+1)
an + 1 =
	n + 1

an + 1		[(n + 1)!]1/(n + 1) * n
	=		=
an		(n + 1) * (n!)1/n

	(n!)1/(n + 1) * (n + 1)1/(n + 1) * n
=		=
	(n + 1) * (n!)1/n

	n
=		* (n!)1/(n + 1) − 1/n * (n + 1)1/(n + 1)
	n + 1

Norbert: AC: tak jak w poleceniu, trzeba wyznaczyć granicę ciągu. Jeśli to pomoże to można użyć do tego własności zbieżności szeregu, jednak nie to jest celem. ZKS: Doszedłem do tego samego, tylko co to daje dalej?

ZKS: Z tego wychodzi granica 1 więc kryterium nie rozstrzyga zbieżności ani rozbieżności.

Godzio:

	n!
Weźmy ciąg an =
	nn

Obliczmy teraz granicę takiego ilorazu:

	an + 1		(n + 1)!		nn
limn→∞		= limn→∞(		*		) =
	an		(n + 1)n + 1		n!

	n		1
= limn→∞(		)n = limn→∞(1 −		)n =
	n + 1		n + 1

	1
= limn→∞[(1 −		)n + 1]n/(n + 1) =e−1
	n + 1

Przytoczę taki fakt:

	an + 1
Jeśli an > 0 i istnieje granica		= g gdzie g < 1, to limn→∞n√an = g
	an

Zatem

	n√n!
limn→∞		= e−1|
	n

Godzio: "gdzie g < 1" −− to jest nie potrzebne

ZKS: Jak Godzio wyjaśnia to wszystko jest łatwe.

Godzio: Staram się jak mogę

Godzio: ZKS jeśli jesteś ciekawski, to spróbuj udowodnić ten fakt, tzn.

	an + 1
Jeśli an > 0 i istnieje granica limn→∞		= g, to istnieje
	an

granica lim_n→∞ⁿ√a_n i jest także równa g.

ZKS: Przygotuję sobie sporo kartek A4 i oczywiście spróbuję. Jak tam w ogóle ciężko masz na studiach?

Godzio: Dosyć (zadanie najłatwiej idzie z definicji ) Żeby wyrabiać, trzeba na prawdę bardzo dużo czasu poświęcić, żeby wszystko zrozumieć i ogarniać w miarę a na wszystko też nie ma czasu

ZKS: Niestety takie jest życie "profesora" matematyki. Ale tak to to fajna jest ta matematyka na czystej matematyce?

Godzio: Tak, mi się podoba, to jest to czego oczekiwałem, ale trzeba się nastawić na 5/6 wszystkich zadań to dowody (np ten fakt miałem za zadania udowodnić), a 1/6 to zadania obliczeniowe

ZKS: To jeżeli podoba Ci się kierunek i nie jesteś zawiedziony to 80% sukcesu na studiach. Ja miałem na kolokwium zadanie z matematyki podstawowej sprawdź czy operacja □ jest operacją w zbiorze liczb całkowitych jeśli a □ b = ^dfl a − b + ab. Sprawdź też czy jest operacją przemienna , łączną. Chociaż w ogóle my tego nie przerabialiśmy bo ja mam podstawy z matematyki nie to co Ty ale coś tam na bazgroliłem.

Godzio: A przypomnij co studiujesz ?

ZKS: Budownictwo.

Godzio: O kurde to jesteś rzeźnikiem

ZKS: Geometria wykreślna to jest dopiero przedmiot rzeź.

Godzio: Hehe, wiem coś na ten temat, mój przyjaciel studiuje mechanikę i budowę maszyn i też to ma, mega rzeź z tego co widziałem i słyszałem

Norbert: Dzięki wielkie! Jak już zobaczyłem rozwiązanie to oczywiście okazało się banalnie proste, ale trzeba było wpaść na zapis a_n A na którym roku studiujecie, pierwszym?

Godzio: Tak

ZKS: Też właśnie mam kolegę na mechanice i budowie maszyn tylko że on mi mówił że oni to robią w programach różnych typu "Autocad" a ja muszę wszystko kreślić rapidografami jeden malutki błąd to projekt do wyrzucenia albo żyletka w rękę i wycinanie papieru.

Godzio: Akurat mój kolega wykreśla wszystko ręcznie

Norbert: Pozwolicie że dodam coś od siebie; ja mam grafikę inżynierską na studiach i to jest również masakra! Wszystko jest przyjemne po grafice

ZKS: To Twój kolega doświadcza również walki z geometrią i rapidografami. Ale z tym jest masakra jeszcze rysunek techniczny jest w miarę ale za to kreska jest strasznie trudna dobrze że mam książeczki to będę musiał zasiąść do lektury i czytać.

Norbert:

	1
Spytam się jeszcze o taki szereg: 1−cos		−> zbadać jego zbieżność. Pewnie trzeba tu użyć
	n

kryterium porównawcze, ale nie mogę nic wykombinować.

Norbert:

Norbert: 2 problem z którym nie mogę sobie poradzić:

	lnn
Do badania zbieżności warunkowej, muszę udowodnić, że		jest malejący. Od razu widać,
	n

że tak będzie, bo lnn 'rośnie' wolniej niż n, jednak nie mogę tego ładnie udowodnić. Doszedłem

	lnn
do czegoś takiego: (żeby		był malejący, to musi zachodzić: ) n>(n+1)(n/n+1).
	n

Widać, że jest to prawdą dla n>=3, jednak nie wiem jak to pokazać. Będę ogromnie wdzięczny za pomoc

AC: obustronnie do potegi n+1 nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ /:nⁿ

	1
n > (1+		)n
	n

prawa strona to ciąg rosnący zmierzający do e < 3 czyli dla n ≥ 3 nierówność jest prawdziwa

Norbert: Dzięki! A wiesz może jak zbadać zbieżność szeregu który napisałem wyżej?

AC: Próbowałem i wyszło mi że jest zbiezny korzystałem z Kryterium Raabego.

Norbert: Odpowiedź jest: bezwzględnie zbieżny. Natomiast nie miałem kryterium Raabego, więc na pewno da się to zrobić jakoś inaczej (kryterium porównawcze, d'Alemberta albo Cauchy'ego). Jednak chętnie zobaczyłbym Twoje rozwiązanie.

Norbert:

	1
szereg: 1−cos		−> zbadać jego zbieżność.
	n

Basia: 1−cos¹_n = cos0 − cos¹_n = −2sin¹_2n*sin⁻¹_2n =

	1		1		1
2sin212n = 2(sin12n)2 ≤ 2*(12n)2 = 2*		=		*
	4n2		2		n2

korzystam z wzoru na różnicę cosinusów i nierówności sinx < x

Norbert: Dziękuję.