Jak pomnożyć pisemnie wielomian misha: Jak pomnożyć pisemnie wielomian ______________ z⁴+4z³−8z+20 : z²−2z+2 po pierwszym podzieleniu nad kreską wyszło mi: z², a na dole −z⁴−2z³+2z², ale chyba coś źle mi wychodzi. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to poprawnie wykonać?

alfa: −z⁴−2z³−2z²

misha: I jak to −8z odjąć od −2z²?

alfa: z⁴+4z³−8z dodajesz z −z⁴−2z³−2z². A jeśli chodzi o to co zapytałaś to wpisz sobie pomiedzy 4z³ i −8z zero.

alfa: czyli będziesz musiała dodać z⁴+4z³−0 plus −z⁴−2z³−2z²

misha: Nie wiem, czy mi dobrze wychodzi, mógłby ktoś sprawdzić? z²+2z−6 ______________ z⁴+4z³−8z+20:z²−2z+2 −z⁴−2z³−2z² ______________ 2z³−2z²−8z+20 −2z³−4z²−4z+ ______________ −6z²−12z+20 6z²+12z−12

alfa: Tam powinno być +2z³−2z³. Mój błąd.

Iza: Źle Zaraz Ci napisze jak to ma być... One moment

Aga: (z⁴+4z³−8z+20):(z²−2z+2)=z² −z⁴+2z³−2z² ........................ 6z³−2z²−8z+20

Iza: Jak dzielisz wielomian przez wielomian to później to, co Ci wyjdzie nad kreską czyli pierwsze to z² mnożysz p[rzez cały dzielnik i piszesz niżej zmieniając znak, czyli ma Ci wyjść −z⁴+2z³−2z² no i wtedy odejmujesz sobie wszystko i układasz w kolejnościw spółczynników i znowu to samo... i znowu dzielisz najwyższy współczynnik przez to co tam masz

Iza: Tak jak Aga i teraz to 6z³ dzielisz przez z²

alfa: z²+6z−10 ______________ z⁴+4z³−0−8z+20: z²−2z+2 −z⁴+2z³−2z² ____________ = 6z³−2z²−8z −6z³+12z²−12z ________________ =−10z²−20z+20 +10z²+20z−20 _____________________ == == ==

misha: Dziękuję za pomoc wyszło mi: z²+6z+10 − czyli tak jak miało być

misha: Jest jeszcze jedno pytanie, ale dotyczące innego zadania. Mam równanie (1+j)z²−(2−j)z+2+3j=0 Obliczam deltę, która mi wychodzi: −24j+7 Później liczę moduł z delty = 25 Pierwiastek z delty = +− 9 + 16j Moim pytaniem jest co dalej? Jak obliczyć z₁ i z₂

ICSP: wiesz czym jest układ równań?

misha: Do czego mi tutaj układ równań? Tu są pierwiastki liczb zespojonych

ICSP: Jak to ? Nie lubisz układów równań? masz liczbę zespoloną : −24j + 7 7 − 24j szukamy pierwiastka z tej liczby. (x+yi)² = a + bi ⇒ x² + 2xyi − y² = a + bi x² − y² = a 2xy = b Teraz podstaw odpowiednio i oblicz x oraz y

misha: Nie chodzi mi o to, że nie lubię, czy nie umiem. Po prostu to jest równanie kwadratowe, gdzie liczy się deltę i x₁ oraz x₂ ale z tego co widzę, to w zwykłych równania kwadratowych i tych zespolonych jest inny wzór chyba

ICSP: Nie Równanie kwadratowe: 1. Liczysz deltę 2. Liczysz pierwiastek z delty 3. Liczysz pierwiastki. Problem może pojawić się tylko wtedy gdy musisz obliczyć pierwiastek z jakiejś dziwnej delty. I właśnie do tego używa się metody układu równań.

misha: Ja się tylko pytam jaki jest wzór

ICSP: Wzory sie nie zmieniają. Tak samo rozwiązujemy równanie kwadratowe w liczbach rzeczywistych i zespolonych.

misha: Ani jednym, ani drugim sposobem nie wychodzi. Twoim, który zaproponowałeś − układ równań mam takie coś: Zakładając, że dobrze rozumiem x=7 y=−24j Podstawiam do pierwszego a=625 Do drugiego: b=−336j?

ICSP: (x+yi)² = a + bi skoro podnosisz x + yi do kwadratu to znaczy że jest on pierwiastkiem z liczby a + bi Czyli a = 7 b = 24

ICSP: b = −24

misha: x²−y²=7 2xy=−24

	−24
y=
	x

	24
−y2=9+
	x

	24
y=√−7+		(wszystko pod pierwiastkiem)
	x

Podstawiając do drugiego:

	24
2x*√−7+		(wszystko pod pierwiastkiem)=−24
	x

ICSP: źle wyznaczony y.

misha:

	−24
y=
	2x

teraz do pierwszego: x²− ⁻²⁴_2x²=7

misha:

	576
x2−		=7
	4x2

ICSP:

	144
x2 −		= 7
	x2

x⁴ − 7x² − 144 = 0 t = x² , t ≥ 0 t² − 7t − 144 = 0 Licz dalej.

misha: delta=625 √delta=25

	−7−25
t1=		=−16
	2*1

	−7+25
t2=		=9
	2*1

ICSP:

	−b + √Δ
x1 =
	4a

misha: Skąd 4a?

ICSP: ze zmeczneia logiką

	−b + √Δ
Oczywiście x1 =
	2a

misha: x₁=16 x₂=−9 co dalej?

ICSP: nie x.

ICSP: t₁ = 16 t₂ sprzeczne t = x² 16 = x² ⇔ x = 4 b x = − 4 liczymy y x = 4 ⇔ y = −3 x = −4 ⇔ y = 3 otrzymujemy więc dwie liczby zespolone : (4−3i), (−4 + 3i). Są to pierwiastki z delty. Teraz tylko podstawić do wzoru. możemy jeszcze sprawdzić: (4−3i)² = 16 − 24i − 9 = 7 − 24i czyli się zgadza

misha: Jeszcze jedno pytanie: po co jest tutaj obliczany moduł z delty, skoro on nie jest wykorzystywany?

ICSP: Nie liczyłem go przecież

misha: Tak wiem, ale ja to zrobiłam − nie potrzebnie?

ICSP: Nie wiem w jakim celu to zrobiłaś Jest całkowicie zbędny.

misha: Nie wiem? Czasami są takie przykłady, gdzie korzysta się z prostych wzorów (x₁ i x₂) od razu nie widać, czy przykład jest trudny, czy do ogarnięcia w łatwiejszy sposób. My bynajmniej na ćwiczeniach nie robiliśmy w taki sposób w jaki Ty to przedstawiłeś.

ICSP: T w takim razie jakim sposobem robiliście to na ćwiczeniach?

misha: Jutro wkleję link, albo napiszę. Zawsze jest taki wzór x² − y² = a 2xy = b ?

ICSP: tak. Jak zapewne zauważysz skoro zawsze używa sie takiej zależności to zapewne istnieje wzór na x oraz y w zależności od a i b. Wzoru nie będę ci podawał bo chce abyś zrozumiała tą metodą

misha: Ostatnie pytanie na dziś: Skąd to się wzięło? a dokładnie x⁴ −>

	144
x2 −		=7
	x2

x⁴−7x²−144=0

ZKS:

	√|z| + x		√|z| − x
Lub taki wzór ±(		+ sgn(y)		)
	√2		√2

Gdzie z = x + iy , |z| = √x² + y² , sgn(y) znak jaki stoi przy "y".

ICSP: przemnożyłem przez x²

misha: Ok, chyba rozumiem − dziękuję. Sposób w jaki na zajęciach robiliśmy: x²+(1+4j)x−(5+5j)=0 Delta= (1+4j)²+4*(5+j)=1+8j−16+20+4j=5+12j Moduł z delty= √25+144=13

	13+5		13−5
Pierwiastek z delty= +−√		+ √		j=+−(3+2j)
	2		2

	−1−4j+3+2j
x1=		=1−j
	2

	−1−4j−3−2j
x2=		=−2−3j
	2

misha: ?

ICSP: ?

misha: napisalam w jaki sposoby my to rozwiazywalismy na zajeciach

ICSP: zapoznałem się Chyba nie musiałem potwierdzać

misha: No tak, ale skoro tak na ćwiczeniach robimy to czy wcześniejsze zadanie można było i w ten sposób rozwiązać?

ICSP: można

misha: To w takim razie po co tracić czas na układy równań? Tak jak pokazywałeś? Mógłbyś mi pokazać jak za pomocą tego co na ćwiczeniach robiliśmy zrobić tamten przykład?

firanka: halo? pomozesz?

ICSP: który przykład?

firanka: (1+j)z²−(2−j)z+2+3j=0

firanka: Co z tym przykładem?