Wielomiany Eliza: Mam trudne zadanie z wielomianów którego kompletnie nie rozumiem i nie wiem jak zrobić. Błagam o pomoc Wyznacz parametr a ( a∊R ), dla którego wielomian W(x) = x³ − ax + a − 1 ma ujemny pierwiastek dwukrotny. Dla wyznaczonej liczby a oblicz pierwiastki wielomianu W. I właśnie to to zadanie

Eliza: Chwila sprawdźcie jak coś Ze wzoru hornera W(x) = (x−1)(x² + x + 1 − a) takie cos wyszlo czyli pierwiastkiem dodatnim jest 1 x² + x + 1 − a musi miec ujemny pierwiastek podwojny czyli delta = 0 delta = −3a + 4 −3a + 4 = 0 a = 0,75 W(x) = (x−1)(x² + x + 1 − a) pod a podstawiam 0,75 i wychodzi : (x − 1) ( x² + x + 0,25) = (x − 1)( x+0,5)² (x−1)(x+0,5)²= 0

Eliza: x₁ = 1 x₂ = − 0,5

ICSP: w(x) = x³ − ax + a − 1 a = 1(chodzi o najwyższą potaę wielomianu. Nasz wielomian możemy więc zapisać w postaci : a(x−b)(x−c)² = 1(x−b)(x² − 2xc + c²) = x³ − 2x²c + c²x − x²b +2xbc − c²b = x³ + x²(−2c − b) + x(c² + 2bc) − c²b najpierw oczywistość : −2c − b = 0 b = −2c. No i ładnie czyli otrzymujemy x³ + x²(−2c − (−2c)) + x(c² −4c²) +2c³ x³ − 3c² x + 2c³ 3c² = a 2c³ = a−1 c musi być < 0 3c² = 2c³ + 1

	1
2c3 − 3c2 + 1 = 0 ⇔ c = 1 v c = −		pierwsze jest sprzeczne.
	2

	1
3 *		= a
	4

	3
a =
	4

	3
x3 −		x −0,25
	4

Jeszcze możemy to sprawdzić xD

Eliza: ISCP jaki kozak xD tylko kompletnie nie ogarniam co napisałeś

ICSP:

	3
x3 −		x − 0,25
	4

	1		1
Δ = (−		)3 + (		)2 = 0 i ładnie
	4		8

x₁ = ³√−0,125 = −0,5 − pierwiastek podwójny. x₂ = −2x₁ = −2 * (−0,5) = 1 czyli się ładnie zgadza

ICSP: według mnie nie możesz zakładać że pierwiastek to 1. Może tak być ale nie musi. W tym przykładzie akurat się udało

ICSP: mów czego nie rozumiesz

Eliza: Nie rozumiem tych twoich oczywistości xD a(x−b)(x−c)² = 1(x−b)(x² − 2xc + c²) = x³ − 2x²c + c²x − x²b +2xbc − c²b = x3 + x²(−2c − b) + x(c² + 2bc) − c²b 2c − b = 0 b = −2c.

Eliza: kompletna masakra Skąd się to wzieło wszystko xD

ICSP: Wyznacz parametr a ( a∊R ), dla którego wielomian W(x) = x3 − ax + a − 1 ma ujemny pierwiastek dwukrotny. Dla wyznaczonej liczby a oblicz pierwiastki wielomianu W. wielomian w(x) = x³ + 0x² − ax + a−1 ma mieć ujemny pierwiastek dwukrotny. Załóżmy że tym pierwiastkiem będzie c. Pierwiastek dwukrotny zapisujemy : (x−c)² Znak przy najwyższej potędze wielomianu jest równy 1. Dlatego w postaci iloczynowej nic nie będziemy wystawiać przed nawias. Oczywiście poza tym pierwiastkiem dwukrotnym wielomian musi posiadać jeszcze jeden pierwiastek o którym nic nie wiemy. Oznaczam go jako b i zapisuję wielomian w postaci iloczynowej: a(x−b)(x−c)² = po wykonaniu działań = x³ + x²(−2c − b) + x(c² + 2bc) − c²b te dwa wielomiany będę równe wtedy kiedy będą tego samego stopnia(spełnione) oraz wtedy kiedy współczynniki przy poszczególnych potęgach będą równe. Na początek porównuje współczynniki przy x² wielomian pierwszy : 0x² wielomian drugi : (−2c − b)x² czyli : 0 = −2c − b