Badanie zbieżności i obliczanie granicy ciągu Vizer: Może ktoś mi sprawdzić czy dobrze takie zadanie robię?

	1		1
Pokaz, ze ciag rekurencyjny: a1 = 2, an+1 =		(an+		) jest zbiezny i oblicz jego
	2		an

granice. Badam ograniczoność przez np. 3 z indukcji matematycznej ∀n∊N a_n<3 1) dla n=1, a₁=2<3 O.K 2) zał: a_k<3 teza: a_k+1<3

	1		1		1		1		5
dowód: an+1=		(an+		)<		(3+		)=		<3 O.K.
	2		an		2		3		3

Ciąg ograniczony z góry przez 3 Badam monotoniczność (sprawdzam, że rosnący): a_n+1>a_n

1		1
	(an+		)>an
2		an

	1
an+		>2an, an>0, bo ograniczony od dołu przez 1
	an

a_n²+1>2a_n² a_n²−1<0 (a_n−1)(a_n+1)<0 a_n∊(−1,1), czyli ciąg rosnący dla n∊(−1,1) Wniosek: Ciąg jest zbieżny. Liczymy granicę: lim_n−>∞a_n=g, g≥1 z tw. o słabej nierówności lim_n−>∞a_n+1=g

	1		1
limn−>∞an+1=limn−>∞		(g+		)
	2		g

	1		1
g=		(g+		)
	2		g

	1
2g=g+
	g

2g²=g²+1 g²−1=0 (g−1)(g+1)=0 (g=1 v g=−1) ⋀ g≥1 g=1 Proszę o sprawdzenie i wytknięcie ewentualnych błędów.

Basia: a_n < 3

	1		1
z tego nie wynika, że an+		< 3+
	an		3

	1		1
bo		>
	an		3

błędów chyba jest więcej, ale teraz muszę kończyć

Vizer: Hmm to jakby to można byłoby udowodnić?

Trivial: Ten ciąg jest malejący (to iteracyjny algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego − w tym wypadku z jedynki).

Vizer: To całe zadanie sknocone normalnie, a byłem tak dumny z niego Trivial mógłbyś napisać jakbyś to zrobił?

Trivial: a₁ = 2

	1		1
an+1 =		(an +		)
	2		an

Najpierw udowodnimy, że ciąg a_n jest malejący. Zbadamy znak różnicy wyrażenia:

	1		1		1		1		1−an2
an+1 − an =		(an +		) − an =		(		− an) =		.
	2		an		2		an		2an

W oczywisty sposób każde a_n > 0, zatem: dla a_n < 1 mamy ciąg rosnący. dla a_n > 1 mamy ciąg malejący. Teraz trzeba jeszcze wykazać, że ograniczony od dołu przez 1. Tylko jak.

Trivial: Przypuśćmy, że:

	1		1
an+1 =		(an +		) > 1
	2		an

	1
an +		> 2
	an

a_n² + 1 > 2a_n a_n² − 2a_n + 1 > 0 (a_n − 1)² > 0 − OK, jesli a_n ≠ 1 − czyli OK.

Vizer: Nie mam pojęcia właśnie, bo próbowałem indukcyjnie jak na górze, ale to chyba źle..

Trivial: Można też założyć a_n+1 ≥ 1 i wtedy wyjdzie nam już, że dla a_n ∊ R.

Trivial: Poprawka: a_n ∊ R₊, (co w oczywisty sposób spełnione)

Vizer: Hmm, to ma sens A nie można odwrotnie tak ja na górze, ze rosnący jest dla jakiegoś przedziału i ograniczony z góry?

Trivial:

	1
Jest rosnący jeżeli zaczynasz od a1 < 1, np.		.
	2

Vizer: Wiem właśnie czyli mój powyższy dowód, że rosnący jest dobrze?

Trivial: Jest OK.

Vizer: Ok a mój dowód indukcyjny, jest tak jak Basia twierdzi, że z niego nie wynika ograniczoność przez 3?

Trivial: zakładasz, że a_n < 3, wtedy:

1		1		1		1
	(an +		) <		(3 +		)
2		an		2		?

? wcale nie jest równy 3, tylko najmniejszej dodatniej wartości jaką może przyjmować. Jeżeli udowodnisz, że a_n > 1 to możesz tam wstawić 1.

Vizer: Ok, wielkie dzięki już łapię A sama granica dobrze wyliczona?

Trivial: Algorytm jest taki: A − dowolne > 0.

	1		A
an+1 =		(an +		)
	2		an

Gdy n → ∞ a_n → √A. Czyli dobrze.

Trivial: I oczywiście a₁ − też dowolne > 0

Vizer: Ok. Dzięki za wskazówki

Vizer: Trivial jeszcze jedno proste, głupie pytanie, dlaczego wiemy, zakładamy, że a_n>0

Trivial:

	1
Suma dwóch liczb dodatnich > 0 pomnożona przez		będzie > 0
	2

Vizer: Eh no tak srry za zawrót głowy. Teraz już raczej wszystko kapie.

Trivial: To dobrze że kapiesz.