Matematyka Dyskretna. Struktury algebraiczne Łukasz: G= R\{1} e,x nalezą do G równanie: x o y = xy − x − y +2 (G,o) jest grupą abelową 1. rozwiązać równanie z niewiadomą "X" 4 o x o x = 13 2. znaleźć wszystkie podgrupy cykliczne drugiego rzędu grupy (G,o)

Łukasz:

Basia: ad.1 masz grupę abelową czyli działanie jest przemienne i łączne 4◯x◯x = 4◯[x◯x] = 4◯[x²−2x+2] = 4(x²−2x+2) − 4 − (x²−2x+2) + 2 czyli masz równanie: 4(x²−2x+2) − 4 − (x²−2x+2) + 2 = 13 (przekształć, będzie zwykłe równanie kwadratowe) ad.2 przypomnij definicję podgrupy cyklicznej

Łukasz: czyli x= −1 lub x=3 i teraz muszę znaleźć liczby dla których ich kwadraty należą do G. Może jakieś wskazówki?

Łukasz:

Basia: G = R\{1| jeżeli chodzi o zwykłe x² to x²≠1 ⇔ x≠±1 ⇔ x∊R\{−1;1} ale co to ma wspólnego z grupą cykliczną ? Grupę G nazywamy cykliczną, gdy istnieje element g∊ G taki, że dla każdego a∊ G istnieje liczba całkowita k taka, że a= g^k

Łukasz: tak zostało sformuowane zadanie na zeszłorocznym kolokwium z Matematyki Dyskretnej, a niczego też nie pominąłem