algebra luk18: Wyznaczyć bazę podprzestrzeni liniowej U w przestrzeni R⁴ U={(3x−2z+u, x−u, x+y, −x+y−2u); x−y+2u=0 ⋀ z+u=0} Jak w ogóle zabrać się za to zadanie?

Basia: czy tak definiujecie bazę przestrzeni liniowej: minimalny zbiór wektorów taki, że każdy wektor przestrzeni U jest kombinacją liniową wektorów tego zbioru ? jeżeli tak to: z = −u i mamy: (3x+3u, x−u, x+y, 0) y = x+2u (3(x+u), x−u, 2(x+u),0) no to wystarczą mi wektory: (3,0,2,0) i (0,1,0,0)

luk18: Niby rozumiem, i w ten sposób chciałem to robić, ale nie wiem skąd wzięły się te wektory....

luk18: RATUNKU

luk18: Podbijam, czy jest ktoś to powie mi skąd wzięły się te wektory

Basia: stąd: (x+u)*(3,0,2,0) + (x−u)*(0,1,0,0) = (3(x+u); x−u; 2(x+u); 0)

luk18: A skąd wiesz że akurat tak?

Basia: pokazałam, że każdy wektor z Twoich wektorów da się przy podanych warunkach sprowadzić do wektora (3(x+u); x−u; 2(x+u); 0) to rozumiesz ? no to teraz widzę, że jeżeli wezmę dowolne x,u∊R i podstawię α=x+u i β=x−u to mam wektor (3α; β, 2α, 0) = α(3;0;2;0)+β(0;1;0;0) czyli wystarczą mi te dwa wektory żeby wygenerować całą podprzestrzeń U (to nie muszą być te; mogę znaleźć inne, ale albo będzie ich więcej niż 2 czyli nie będzie to baza, albo niepotrzebnie wpakuję się w ułamki, no to po co mi to ?)

luk18: No dobra, dzięki. Myślę, że rozumiem, ale muszę więcej takich zadań porobić...