trójkąt. melania: W trójkąt równoramienny wpisano okrąg, który jest styczny do ramion AB i AC, odpowiednio w punktach D i E. Wiedząc, że AB=AC=25 cm i BC=14 cm, oblicz: a) długość odcinka DE b) odległość odcinka DE od boku BC bardzo proszę o rozwiązanie.

tim: http://img2.vpx.pl/up/20090321/xxx.gif Spróbuję się zabrać za to. |AB| = 25 |AC| = 25 |BC| = 14 |BX| = |CX| = 7 Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość trójkąta |AX| (zielona): 7² + x² = 25² x² = 625 - 49 x² = 576 x = 24 |AX| = 24 Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt: 2 P 2(a*h / 2) a * h 14 * 24 336 r = ------ ----- = ------------------ = ------ = ------------ = ----- = 5,25 a + b + c 25 + 25 + 14 64 64 64 Skoro r = 5,25, to d (|XY|) = 10,5 Korzystając z Talesa obliczamy: |XY| |BE| ----- = ----- |XA| |BA| 10,5 |BE| ------ = ----- 24 25 |BE| = 25 * 10,5 / 24 = 10,9375 Korzystamy drugi raz z Talesa: |DE| |CB| ----- = ------- |EA| |BA| |DE| 14 ----------------- = ------ 25 - 10,9375 25 |DE| = 14,0625 * 14 / 25 = 7,875 Więc: a) |DE| = 7,875 b) |DE| do boku |BC| to średnica = 10,9375 Proszę o sprawdzenie.

melania: a moze byc taka proporcja: AY AX ---- = ---- DY CX wtedy bylo by szybciej.

tim: Niech Bogdan się wypowie.

tim: Tzn melania tak. Ja wole na około, żeby nie popełnić błędu.

Bogdan: Zaraz sprawdzę, moment

Bogdan: Źle zostały na rysunku są wpisane punkty D i E, bo to nie są punkty styczności okręgu z ramionami trójkata, one są trochę niżej. Trzeba poprowadzić ze środka okręgu S odcinki prostopadłe do ramion i tam zaznaczamy punkty D i E. S - środek okręgu, G - środek odcinka DE, F - punkt na podstawie trójkąta BC leżący w jego środku, Punkty A, G, S i F leżą na jedym odcinku, który jest wysokością trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A na podstawę BC, czyli h = |AF| r = |SD| = |SE| = |SF| - długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Trójkąty EBS, BFS, FCS i CDS są przystające, czyli |BE| = |BF| = |FC| = |CD|. Trójkąty AES i ADS są przystające, czyli |AE| = |AD|. Mamy wyznaczyć |DE| i |FG| |AB| = |AC| = 25 oraz |BC| = 14 |BF| = |FC| = 7 |AE| = 25 - 7 = 18 Z podobieństwa trójkątów ABC i AED otrzymujemy proporcję: 14 / |DE| = 25 / 18, stąd |DE| = 14*18 / 25 = 10,08 Wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa wysokość h trójkata: h = √25² - 7² = 24 Z podobieństwa tych samych trójkątów otrzymujemy również taką proporcję: 24 / (24 - |FG|) = 25 / 18, stąd (24 - |FG|) = 24*18 / 25 czyli |FG| = 24 - 17,28 = 6,72 Odp.: |DE| = 10,08, |FG| = 6,72

tim: Jaka wpadkaaaaaaaaaaaaa...

Bogdan:

tim:

Bogdan:

tim:

Bogdan: melanio, czy wszystko jasne?

melania: juz teraz tak. wlasnie cos mi nie pasowalo z tym rysunkiem. dziekuje.

tim: Przepraszam za wpadkę <sorka>