. xXx: Dany jest ciąg rekurencyjny: x₁=6 x_n+1 = √6+x_n , n≥1. Pokazać, że ciąg (x_n) jest zbieżny i znaleźć jego granicę.

sushi_ gg6397228: niech x_n−−> g g=√6+g

xXx: to cały dowod na to ze jest zbiezny?

Basia: [@sushi]] udowodniłeś takie oto twierdzenie: jeżeli x_n jest zbieżny ⇒ x_n jest zbieżny

xXx: Basiu jeśli mogłabyś udowodnić zbieżność to byłbym wdzieczny

sushi_ gg6397228: przeciez nic nie udowadnialem gdzies napisalem, ze g jest liczba skonczona zbieznosc−−−> monotonicznosc + ograniczenie===zbieżnosc podstaw i policz kilka pierwszych wyrazow ciagu x_n

Basia: na razie nie mam pomysłu, ale pokombinuję (za efekty nie ręczę)

Basia: @sushi napisałeś g = √6+g z tego wynikało by, że g = −2 (odpada) lub g=3 i tak zapewne będzie −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ciąg jest malejący, ale udowodnienie tego nie jest zdaje się takie proste a może i jest tylko trzeba wpaść na pomysł, którą nierówność zastosować ja na razie tego pomysłu nie mam

xXx: i jak? ma ktoś pomysł? myślałem o tym żeby zbadać tę funkcję, ale nie wiem czy to dobry pomysł

Vizer: Siemka, a to nie będzie się podobnie robiło jak przykład z naszego wykładu

Basia: 1. dowodzimy indukcyjnie, że ∀_n x_n > 3 x₁=6 > 3 x_n > 3 ⇒ x_n+1 = √6+x_n > √6+3 = 3 2. dowodzimy, że ciąg jest malejący dowód nie wprost: przypuśćmy, że ciąg nie jest malejący ⇔ ∃_n x_n+1 ≥ x_n ⇔ ∃_n √6+x_n ≥ x_n ⇔ (jest ⇔ bo obie strony nierówności są dodatnie) ∃_n 6+x_n ≥ x_n² ⇒ ∃_n x_n² − x_n − 6 <0 (rozwiązujemy klasyczną nierówność kwadratową) ⇔ ∃_n x_n ∊ < −2; 3> sprzeczność bo pokazaliśmy, że ∀_n x_n > 3 czyli ciąg jest malejący i ograniczony z dołu ⇒ jest zbieżny ⇒ ∃_g lim_n→+∞ x_n = lim_n→+∞ x_n+1 = g ponieważ x_n+1 = √6+x_n ⇒ lim_n→+∞ x_n+1 = lim_n→+∞ √6+x_n g = √6+g /()² g² = 6+g g² − g − 6 =0 pierwiastki tego równania to g₁ = −2 (odpada) i g₂ = 3 czyli lim_n→+∞ x_n = 3