Wyznacz ich długość Nati: Z dowolnego punktu sfery o promieniu R poprowadzono trzy cięciwy równej długości pod katem α jedna do drugiej. wyznacz ich długość

Nati: proszę o pomoc

Bogdan: tim, co Ty na to? Sfera to powierzchnia kuli.

tim: Ja? Dla mnie za trudne...

Nati: no to jak nic się nie da zrobić:(

Bogdan: Wskazówka. Wyobraźmy sobie ostrosłup prawidłowy trójkątny, czyli taki, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a, krawędzie boczne mają długość b. Miara kąta między krawędziami bocznymi jest równa α. Na tym ostrosłupie opisano kulę o promieniu R. Trzeba znaleźć długość b znając R i α. To jest to samo zadanie.

Nati: ale tu w podstawie nie wyjdzie chyba trójkąt równoboczny

Bogdan: Jeśli z dowolnego punktu sfery wyprowadzimy 3 cięciwy (odcinki) równej długości, między którymi zawarty jest kąt α, to po połączeniu końców tych odcinków utworzymy trójkąt równoboczny o boku a. Te cięciwy są krawędziami bocznymi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a, ściany boczne są trójkątami równoramiennymi o ramionach b, podstawie a kącie między ramionami α. Mamy wyznaczyć b.

Nati: czy to możliwe żeby wyszło mi:b=R-x/ctgα/2

Bogdan: Co to jest x i jak do tego doszłaś (doszedłeś ?) ?

Nati: wysokość ostrosłupa= R-x z funkcji trygonometrycznej to mi wyszło

Bogdan: Jeśli H to wysokość ostrosłupa, to wg Ciebie H = R - x, czyli x = R - H, ale R < H i wtedy x < 0. Coś nie tak. Twoja odpowiedź jest błędna Na razie muszę przerwać, bo mam inne zajęcia, potem tu zajrzę, jeśli do tego czasu nikt nie naprowadzi Cię na rozwiązanie, to Ci pomogę. A przy okazji zapraszam innych do rozwiązania tego zadania, nie jest zbyt trudne.

Nati: ale H nie jest wieksze od R. ok to jak bedziesz mial chwile to zajzyj

tim: Wychodzi mi r√2, ale to tak powierzchownie.

Bogdan: Jeszcze zdążyłem przeczytać ostatnią Twoją uwagę. Zauważ, że H może być dłuższe od R, nie można tej ewentualności odrzucać.

kamil: nati a masz moze wynik tego zadania?

Nati: no wlasnie nie mam:(

Bogdan: Mamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędziami bocznymi są cięciwy o równej długości wyprowadzone z punktu W na sferze opisanej na tym ostrosłupie. Oznaczenia: W - wierzchołek ostrosłupa, A, B, C - wierzchołki trójkąta równobocznego będącego podstawą ostrosłupa, |AB| = |BC| = |CA| = a - krawędź podstawy ostrosłupa i bok trójkąta równobocznego, |WA| = |WB| = |WC| = b - krawędź boczne ostrosłupa, S - środek sfery opisanej na ostrosłupie, |SA| = |SB| = |SC| = |SW| = R, D - punkt w podstawie ostrosłupa będący spodkiem wysokości ostrosłupa, A' - punkt leżący na prostej zawierającej punkty A i D będący obrazem punktu A w symetrii środkowej względem punktu D, czyli A' leży po przeciwnej stronie punktu D w stosunku do punktu A, |AD| = |A'D| = R_p E - punkt leżący w środku krawędzi bocznej AW, |DA| = |DB| = |DC| = R_p = (1/3)a√3 - długość promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, |<AWD| = |<BWD| = |<CWD| = β - miara kąta między krawędzią boczną i wysokością |WD| ostrosłupa, |<AWB| = |<BWC| = |<CWA| = α - miara kąta między krawędziami bocznymi ostrosłupa, R - długość promienia sfery opisanej na ostrosłupie. Dane: α, R, Szukane: b. Rozwiązanie: Jeśli przetniemy sferę opisananą na danym ostrosłupie przez jej środek płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną WA, wysokość ostrosłupa WD i odcinek ADA', to otrzymany przekrój jest okręgiem o promieniu R opisanym na trójkącie AWA' . Przypominamy sobie, że środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta. Z trójkąta prostokątnego SEW, w którym: |EW| = b/2 i |SW| = R otrzymujemy (b/2) / R = cosβ => b = 2Rcosβ Z trójkąta równoramiennego CAW (ściana boczna ostrosłupa) o podstawie a, ramionach b i kącie α między ramionami stosując wzór kosinusów otrzymujemy: a² = b² + b² - 2b²cosα => a² = 2b²(1 - cosα) Z trójkąta prostokątnego ADW o przyprostokątnych |WD| i R_p = (1/3)a√3 oraz przeciwprostokątnej b otrzymujemy: R_p / b = sinβ => [ (1/3)a√3 ] / b = sinβ => (a√3) / 3b = sinβ => => sin²β = (3a²) / (9b²) cos²β = 1 - sin²β = 1 - (3a²) / (9b²) = (9b² - 3a²) / (9b²) wstawiamy a² = 2b²(1 - cosα) i otrzymujemy: cos²β = (3 + 6cosα) / 9 => cosβ = √3 + 6cosα / 3 b = 2Rcosβ => b = 2R * √3 + 6cosα / 3 Odp.: b = (2/3)*R*√3 + 6cosα Uff, dotarłem mam nadzieję bez chochlików do końca.

Eta: Masz zacięcie Bogdanie! ja dzisiaj "leniwa"

Bogdan: Nie chciało mi się tego liczyć, bo spodziewałem się długiego opisu i dlatego namawiałem tima do rozwiązania tego zadania, ale tim nie skorzystał z zaproszenia, a ja obiecałem Nati pomóc i nie wypadało nie dotrzymać słowa

ziomalek: Pomoże ktoś z tym układem równań? 2x2+y2=4 2xy−2x=−5.