Równania i nierówności kwadratowe Marta: PROSZĘ O POMOC W ROZWIĄZANIU ZADAŃ 1. Wskaż które z poniższych równań ma dokładnie 1 rozwiązanie. A. (17x−4)(x+15)=x=15 B. 512(x−17)2=0 C. −512(x−17)(17x+512)=0 D. 512x2=17 2. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest krótsza od przeciwprostokątnej o 3, a druga jest krótsza od przeciwprostokątnej o 1. Wynika stąd że przeciwprostokątna ma długość: A. 4+√6 B. 4 C. 1+√6 D. 4−√6 3.Wśród rozwiązań nierówności x2+3x10≤0: A. są trzy liczby naturalne B. są dwie liczby naturalne C. jest sześć liczb naturalnych D. Jest siedem liczb naturalnych

ICSP: twój pomysł na pierwsze?

Marta: Kazda nierownosc rozwiazac, ale gdy tak zrobilam to kosmiczne wzniki mi wychodzily

ICSP: każde równanie. Pamiętaj. Nie musisz liczyć pierwiastków. Wystarczy że oszacujesz ile ich jest. Popraw zapis w przykładzie a)

Marta: 1) A. (17x−4)(x+15)=x+15

ICSP: Ile ono ma rozwiązań? Jak myślisz?

Marta: 4. Rozwiązaniem której z nierówności jest dowolna liczba rzeczywista? A. −3x²+52x+14≤0 B. 9x²+36x+1>0 C. −7x²−4x+17>0 D. 15x²−4x+16>0 Tego już nie wiem też. Liczyłam kazde równanie i nie mam pojęcia

Marta: na pewno 2

ICSP: wiec skoro ma dwa to nie jest poprawna odpowiedzią. (Rzeczywiście ma dwa tylko możesz powiedzieć dlaczego)? Teraz b)512(x−17)² = 0 − ile to ma rozwiązań?

Marta: Ma dwa rozwiazania bo Δ>0 b) gdybym zaczeła wyliczac nawias potem mnozyc przez liczbe przed nawiasem to liczby wychodza wysokie i nie potrafie tego uzasadnic

ICSP: 512(x−17)² = 0 dzielę przez 512 (x−17)² = 0 ⇔ x−17 = 0 ⇔ x = 17 − jedno rozwiązanie odp. B. Nie ma sensu sprawdzać reszty. Jak chcesz mogę udowodnić że mają po dwa pierwiastki. Teraz twój pomysł na zadanie drugie.

Marta: ale dlaczego podzieliłeś przez 512? Może najpierw narysować trójkat prostokatny i opisac go a potem stworzyć równanie?

ICSP: 512(x−17)² = 0 zanpewne znasz twierdzenie: a*b = 0 ⇔ a= 0 v b = 0 czyli : 512(x−17)² = 0 ⇔ 512 = 0 v (x−17)² = 0 oczywiście 512 = 0 jest sprzeczne i dlatego nic nie wnosi więc je sobie usunąłem. Jeżeli masz równanie, to można dzielić przez pewną stałą.

ICSP: pomysł do drugiego dobry. Wykonaj odpowiednie obliczenia xD

Marta: ale nie wiem jak stworzyc układ. 1 przprostpkatna: a−3 2 przyprostokatna: 2a−1

ICSP: teraz próbuj.

Marta: (x−3)(x−1)=x?

ICSP: Skąd taki pomysł? Jakie jest najbardziej słynne twierdzenie na temat trójkąta prostokątnego?

Marta: aa a²+b²=c²

ICSP: Teraz wstawiaj. Pamiętaj tylko tym że : (a−b)² = a² −2ab + b²

Marta: no oki , to te 2 nawiasy podniosłam do potegi 2 i teraz oba te nawiasy mam ze soba pomnozyc?

ICSP: napisz co ci wyszło.

Marta: (x−3)²(x−1)2=x² (x²−6x+9)(x²−2x+1)=x²

ICSP: hmm gdzie w twierdzeniu Pitagorasa jest mnożenie?

Marta: a no tak hehe x²−6x+9+x²−2x+1=x^ no i co dalej?

ICSP: wszystko na jedna stronę. Coś się zapewne skróci i liczysz z delty. Pamiętaj o założeniu x > 3

Marta: x²−6x+9+x²−2x+1−x²=0 x²−8x+10=0 a=1 b=−8 c=10 Δ=b²−4ac Δ=−8²−4*1*10 Δ=64−40 Δ=24

Marta: x₁=1,5 x₂=6,5

ICSP: licz dalej.

ICSP: ile wynosi √Δ ?

Marta: Przyjmujac że √Δ=4,89≈5

ICSP: przecież nie ma w poleceniu żeby podać przybliżoną wartość więc nie ma sensu go wyliczać.

Marta: no oki ale jak to mam obliczyc

ICSP: Δ = 24 √Δ = √24 teraz wyciągnij co sie da i wsadź do wzorów na pierwiastki.

Marta: no dibra to jest 2√6

ICSP: masz już odpowiedź?

Marta: no x₁=4−√6 a x₂=4+√6

ICSP: dobrze. Teraz zaznacz poprawną odpowiedź.

Marta: no ale która jesli mi wyszły 2 rozwi,ązaia może być A i może byc D

alex: ICSP Pomożesz?

ICSP: przeczytaj jeszcze raz moją wypowiedź z 15:28

Marta: dobrze dzieki

Marta: pozmozesz mi jeszcze w nastepnych zadaniach tych 2?

ICSP: 3. Liczysz deltę i pierwiastki. Później zapisujesz przedział i liczysz liczby naturalne w tym przedziale.

Marta: x₁=5 x₂=2 Liczby naturalne to 3,4,5 Odp 3

ICSP: nie wiem Nawet nie mam tej nierówności.

Marta: a te 4 zadanie jak mam zrobic?

ICSP: 4?

Marta: 4. Rozwiązaniem której z nierówności jest dowolna liczba rzeczywista? A. −3x²+52x+14≤0 B. 9x²+36x+1>0 C. −7x²−4x+17>0 D. 15x²−4x+16>0 Tego już nie wiem też. Liczyłam kazde równanie i nie mam pojęcia

ICSP: D. a> 0 parabola leży w całości nad osią OX o czym świadczy Δ<0

Marta: mozesz to jasniej wytłumaczyc?

ICSP: rozwiazaniem nierówności ma byc x ∊R. Czyli parabola nie może mieć miejsc zerowych. Parabola nie ma miejsc zerowych gry Δ <. Oczywiście musi być jeszcze zgodność ze znakiem: jeżeli a > 0 parabola musi leżeć nad osią OX wiec nierówność musi mieć znak > jeżeli a< , parabola musi leżeć pod osią OX wtedy znak nierówności to <

Marta: a mógłbys mi rozwiązac np D>

ICSP: 15x² − 4x + 16 > 0 a> 0 czyli nierówność bedzie prawdziwa gdy Δ < 0 . Δ = 16 − 15*16*4 < 0 − prawda. Odp. D jest prawidłowa.

Marta: a jeszcze przyklad B

ICSP: 9x² + 36x + 1 a > czyli nierówność będzie prawdziwa dla każdej liczb rzeczywistej wtedy gdy Δ < 0 Δ = 36*36 − 36 = 36(36−1) > 0 − czyli sprzeczność z założeniem.

Marta: ta Δ obliczas ze wzoru Δ=b²−4ac? Δ = 36*36 − 36 = 36(36−1) > 0 a to z jakiej wzoru wzioles?

ICSP: z tego samego. PO prostu udowodniłem to że Δ > 0 ponieważ iloczyn dwóch liczb większych od 0 da liczbę większą od 0. Tylko ze ja stosuję sposoby. Ty możesz po prostu na kalkulatorze takie liczby wymnażać i też będzie dobrze.

Marta: aha dobrze. Bardzo ci dziekuje za pomoc