granice XYZ: Witam. Potrzebuje pomocy w granicach. Dopiero zaczynam przerabiać materiał i za bardzo tego nie rozumiem. Np takie zadanie: wakazać że lim ⁿ√a=1, gdy a>1

Tomek.Noah:

	1
zauwaz ze n√a=a1/n jezeli n→∞ to		→0 a zatem mamy a0 czyli 1 smieszny dowod wiem
	n

Godzio: hmmm

Godzio: Może tak: a = (ⁿ√a)ⁿ = (1 + (ⁿ√a − 1) )ⁿ Z nierówności Bernoullego mamy: (1 + (ⁿ√a − 1) )ⁿ > 1 + n(ⁿ√a − 1) zatem:

	a − 1
a > 1 + n(n√a − 1) ⇔		> n√a − 1
	n

Mamy dane, że a > 1 zatem ⁿ√a > 1 ⇒ ⁿ√a − 1 > 0 oraz a − 1 > 0, więc:

a − 1
	> n√a − 1 > 0
n

Z twierdzenia o trzech ciągach mamy:

a − 1
	→ 0 przy n → ∞, oraz 0 → 0 zatem lim(n√a − 1) = 0 ⇒ limn√a = 1
n

XYZ: i taki dowód wystarczy na kolokwium? a jeśli chodzi o tw. o trzech ciągach, np. lim ⁿ√2*3ⁿ+n+5 . Te dwa ciągi które sobie wyznaczę, mają być dowolne czy są na to jakieś reguły?

Godzio: Dowolne, ale jeden musi być ≤, a drugi ≤ od zadanego, i do tego muszą dążyć do tej samej granicy

Godzio: ⁿ√2*3ⁿ + n + 5 = ⁿ√3ⁿ + 3ⁿ + n + 5 3 ← 3ⁿ√4= ⁿ√3ⁿ + 3ⁿ + 3ⁿ + 3ⁿ ≤ ⁿ√3ⁿ + 3ⁿ + n + 5 ≤ ⁿ√3ⁿ → 3 więc: limⁿ√2*3ⁿ + n + 5 = 3

XYZ: aha, dzięki

Godzio: Masz jeszcze jakieś ciekawe zadanka ?

XYZ: będą jeszcze pytania

Godzio: Ok , w miarę możliwości postaram się odpowiedzieć

XYZ: Łatwy przykład ale nie rozumiem zapisu:

	n		1
pokazać że: lim		=
	2n+3		2

|an−g|≤ε

	2n−2n−3
|		|≤ε
	4n+6

no i potem wyliczam n i wychodzi na końcu:

	3		3
n≥		−
	4ε		2

	3		3
i odpowiedź to n=		−
	4ε		2

Co oznacza w ogóle ε? to jakaś stała?

Godzio: Hmm odpowiedź moim zdaniem błędna, trzeba być porządnym ε jest dowolnie małą liczbą dodatnią, dla której odległość prawie wszystkich wyrazów ciągu od jego granicy jest dostatecznie mała lima_n = g oznacza, że dla każdego ε większego od zera istnieje takie miejsce N należące do naturalnych, że dla każdego n większego/równego N prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą blisko granicy g ∀ε>0 ∃N∊ℕ ∀n≥N |a_n − g| < ε U nas:

	n		1		3		3
|		−		| < ε ⇒ n >		−
	2n + 3		2		4ε		2

	3		3
Zatem N = [		−		] + 1 ( [x] − część całkowita )
	4ε		2

	1
Pokazaliśmy więc, że ISTNIEJE takie N że granicą ciągu jest
	2

XYZ: a jeszcze odnosnie tego pierwszego zadania? Myślisz że taki do dowód jak Tomka.Noah wystarczy na kolokwium czy radziłbyś raczej używanie Twojego zapisu?

Godzio: Taki 'dowód' jak przedstawił Tomek.Noah to nie dowód

Godzio: Może i można tak zrobić, ale to nie jest wykazanie, tylko obliczenie tej granicy

XYZ: aha. To narazie bardzo dziękuje za wszystko

Basia: ⁿ√a → 1 to trzeba najnormalniej w świecie udowodnić wprost z definicji (Godziu nie tak dawno z podobnymi rzeczami walczyłeś)

Godzio: Wiem wiem i ciągle walczę, nawet już miałem kolokwium, i chyba dobre poszło Co do zadania mój dowód jest niepoprawny ?

Basia: jak najbardziej poprawny, źle sformułowałam zdanie; miało być można tym bardziej, że nie wiemy czy XYZ zna już nierówność Bernouli'ego a z definicji to dość prosto pójdzie

XYZ: Robię te zadanie z definicji i dochodzę do momentu: a≤(1+ε)ⁿ Co mam dalej z tym zrobić?

AC: Chcesz to zrobić krótko to zrób tak z Tw. o 3 ciągach i śr. geom ≤ śr. arytm.

	n − 1 + a		a − 1
n√1 ≤ n√a = n√1*.....*1*a ≤		= 1 +
	n		n

czyli granice 1 ≤ lim ⁿ√a ≤ 1 ⇒ lim ⁿ√a = 1