Bryła wpisana w kulę ktoś1624: Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kule o promieniu R, wiedząc, że krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 60 stopni.

	9√3
Prawidłowa odpowiedź to		R3
	32

dero2005: oznaczenia: |SW| = H → wysokość ostrosłupa |AE| = h_p → wysokość podstawy (trókąta równobocznego) |WA| = |WB| = |WC| = l → krawędzie boczne ostrosłupa |OA| = |OB| = |OC| = |OW| = R → promień kuli |AB| = |BC| = |CA| = a → krawędź podstawy

	2
|AS| =		hp
	3

rozpatrujemy trójkąt ASW

H
	= tg 60o = √3
23hp

H = ²₃√3h_p rozpatrujemy trójkąt ASO R² = (H−R)² + (²₃h_p)² R² = H² − 2HR + R² + ⁴₉h_p² |− R² H² − 2HR + ⁴₉h_p² = 0 |*9 9H² − 18HR + 4h_p² = 0 9(²₃√3h_p)² − 18R(²₃√3h_p) + 4h_p² = 0 9(⁴₉*3h_p²) − ³⁶₃√3h_pR + 4h_p² = 0 12h_p² − 12√3h_pR + 4h_p² = 0 16h_p² − 12√3h_pR = 0 |:4 4h_p² − 3√3h_pR = 0 h_p(4h_p − 3√3R) = 0 h_p = 0 → odrzucamy 4h_p − 3√3R = 0 4h_p = 3√3R h_p = ³₄√3R z własności trójkąta równobocznego

	2		3
a =		√3hp = 23√3*34√3R =		R
	3		2

a = ³₂R

	2		2		3		3
H =		√3hp =		√3*		√3R =		R
	3		3		4		2

H = ³₂R pole podstawy

	a2√3		(32R)2√3		9
Pp =		=		=		√3R2
	4		4		16

V = ¹₃P_p*H = ¹₃*^9√3*R2₁₆*^3*R₂ V = ⁹₃₂√3R³ → objętość ostrosłupa

ktoś1624: dziękuję