Bogdan Basia: Bogdanie ! Zadanie dla Ciebie ! Ja się chyba poddaję ! ABDC jest trapezem równoramiennym (AB i CD podstawy) K - punkt przecięcia przekątnych P_tr.ACK = 3*P_tr.cdK promień koła opisanego na ACK = 2*promień koła opisanego na CDK kąt ABD = kąt CAB = 51 oblicz f.trygonometryczne kąta CAB.

Bogdan: Basiu, dopiero teraz przeczytałem treść zadania i spróbuję je rozwiązać, sprecyzuj jednak polecenie do tego zadania. Podajesz miarę kata CAB i potrzebujesz funkcje trygonometryczne tego kąta? Jeszcze jedno pytanie dotyczące oznaczeń. Czy tak oznaczony jest ten trapez? C--------------D / \ / \ / \ A---------------------B

gosiaa: Dzień dobry ! Bogdan to zadanie jest moje:( ,Basia chciała mi pomóc.podana jest miara kąta ABD=51 i potrzebne sa funkcje trygonometryczne kąta CAB.Trapez jest dobrze narysowany.Proszę o pomoc !

gosiaa: z mojego rysunku wynika że są to jednakowe kąty...Basia widziała dokładny rysunek i dobrze opisała zadanie

Bogdan: Jeśli trapez jest równoramienny, to miary kątów ABD i CAB są równe i wynoszą 51^o. Wobec tego z tablic trygonometrycznych odczytujemy: sin51^o = 0,7771 cos51^o = 0,6293 tg51^o = 1,2349 ctg51^o = 0,8098 Proszę sprecyzować polecenie w tym zadaniu, a jeszcze lepiej przepisać dokładnie z podręcznika lub z innego źródła treść tego zadania. Jeśli stosunek pola trójkąta ACK do pola trójkata CDK (wg oznaczeń tu przyjętych) jest równy 3 oraz miara kąta między dolną podstawą i ramieniem trapezu równoramiennego wynosi 51^o, to stosunek długości promieni okręgów opisanych na tych trójkatach nie może być równy 2. Jeśli chodzi o oznaczenia wielokątów, to istnieje niepisana umowa, wg której oznacza się wierzchołki kolejnymi literami alfabetu w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara, czyli tam, gdzie teraz jest D powinno być C.

Bogdan: Jeśli stosunek pola trójkąta ACK do pola trójkata CDK (wg oznaczeń tu przyjętych) jest równy 3 oraz miara kąta między dolną podstawą i ramieniem trapezu równoramiennego wynosi 51^o, to stosunek długości promieni okręgów opisanych na tych trójkatach nie może być równy 2 - jeszcze to sprawdzę, ale proszę o podanie dokładnej treści zadania.

gosiaa: Pole trójkąta ACK jest 3 razy większe niż pole trójkąta CDK.Promień koła opisanego na trójkącie ACK jest dwa razy większy niż promień koła opisanego na trójkącie CDK. Trapez równoramienny ABDC. Kąt ABD=51 stponi. Szukane kąt alfa CAB.

Bogdan: No przecież jeśli trapez jest równoramienny, to kąt CAB jest taki sam, jak kąt ABD, czyli oba te katy mają tę samą miarę równą 51^o. A może trapez nie jest równoramienny?

Bogdan: gosiaa - czekam na wyjaśnienie, czy trapez jest równoramienny, bo jeśli tak, to mając daną miarę kąta ABD przy podstawie trapezu masz od razu daną miarę kąta przy tej samej podstawie, czyli kąta CAB.

gosiaa: bardzo przepraszam ,nie mogłam odpisać ,bo nie miałam dostępu do internetu.trapez jest równoramienny. chozi o oznaczecie tego kąta w funkcji trygonometrycznej.

Basia: Bogdanie widziałam ten rysunek. Właśnie tak (wbrew zasadom) jest ten trapez oznaczony.. Przy rysunku jest polecenie: znajdź kat CAB co wydaje mi się bezsensowne, bo przecież CAB = ABD = 51 st. Trapez jest równoramienny - to jest napisane. Gosia wyjaśniła, że chodzi o dokładne policzenie (bez tablic) funkcji trygonometrycznych kąta CAB = 51 st. Ponieważ jednak polecenie na rysunku jest bezsensowne, możliwe wydaje mi się również, że także ustna korekta tego polecenia nie jest precyzyjna. To nie są zarzuty wobec Gosi. To nie jej rysunek. Ona go w takiej formie dostała od autora zadania. Rysunek sugeruje również, że należy obliczyć wysokość trapezu (bo jest narysowana). Nie wiem tylko czy umieszczone na rysunku litery a,b (podstawy) należy traktować jak dane. Męczyłam się nad tym zadaniem przynajmniej ze 2 godziny. Znalazłam masę różnych związków między katami, odcinkami itp., ale nic co pozwoliłoby mi konkretnie policzyć f.tryg. tego kąta. Nie chciałam zakładać z góry, że zadanie nie da się rozwiązać, dlatego Tobie je podrzuciłam.

gosiaa: jej ....tego kata nie ma chociaz jest napisany 51 .nie istnieje

gosiaa: ten kąt trzeba obliczyć czytajac treść zadania .....tego kata nie ma w tresci zadania .

Basia: Oj Gośka, Gośka ! Kto ten śliczny rysunek narysował ? Bo narysowany naprawdę pięknie. Teraz to będzie co innego. Mam nadzieję.

gosiaa: Basiu sle Ci inny jesli pozwolisz na maila ..nie pogniewasz sie ?

Basia: o.k. wyslij, ale teraz będę miała jakąś godzinkę przerwy

Bogdan: Dobry wieczór. Mamy więc obliczyć miarę kąta α zawartego między podstawą i ramieniem trapezu równoramiennego ABDC. Przyjmuję oznaczenia: P_o - pole trójkąta AKC oraz trójkąta BKD, K - punkt przecięcia przekątnych, P₁ - pole trójkąta ABK, P₂ - pole trójkąta DCK, E - punkt w podstawie AB będący spodkiem wysokości trapezu poprowadzonej z C, F - punkt w podstawie AB będący spodkiem wysokości trapezu poprowadzonej z D, d₁ = |BK| = |AK|, d₂ = |CK| = |DK| a = |AB| - dolna podstawa trapezu, b = |CD| - górna podstawa trapezu, c = |AC| = |BD| - ramię trapezu, R_o - promień okręgu opisanego na trójkącie AKC o polu P_o, R₂ - promień okręgu opisanego na trójkącie DCK o polu P₂, Trójkąty ABK i CDK są podobne. W dowolnym trapezie zachodzi zależność: P_o= √P₁P₂ => P_o²= P₁P₂ (Basiu i Eto, pamiętacie zadanie, które trzy dni temu na dobranoc Wam przesłałem? Zadanie to dotyczyło wyznaczenia pola trapezu w zależności od P₁ i P₂) W tym zadaniu: P_o= 3P₂ i R_o= 2R₂ P_o= 3P₂ => P_o²= 9P₂² => P₁P₂ = 9P₂² => P₁ / P₂ = 9 Jeśli P₁ / P₂ = 9 to a/b = 3 i d₁/d₂ = 3 stąd a = 3b i d₁ = 3d₂ |AE| = |FB| = (a - b) / 2 = (3b - b) / 2 = b R_o = (d₁d₂c) / (4P_o) = (3d₂²c) / 4*3P₂) = (d₂²c) / (4P₂) R₂ = (d₂²b) / (4P₂) R_o= 2R₂ => (d₂²c) / (4P₂) = 2 * (d₂²b) / (4P₂) => c = 2b Stąd b/c= 1/2 i b/c = cosα więc cosα = 1/2 => α = 60^o Wyszło 60^o, a nie 51^o jak sugerowała gosiaa.

gosiaa: Dziękuję bardzo

Bogdan: Powiedz gosiu, skąd wzięła się miara 51^o ?

Basia: Brawo Bogdanie ! Mnie podobieństwo AKB i CKB wyszło z tego, że P₂ = CK²*sin(CKD) P₀ = CK*AK*sin(180-CKD) CK*AK*sin(CKD) = 3CK²*sin(CKD) AK = 3CK czyli AKB jest podobny do CKB w skali 3

gosiaa: tak bylo na rysunku ,ale sama myslalam i nie wytrzymalam ,bo przeciez katy w tym trapezie sa podobne wiec poprosilam kolege i mi przerysowal inaczej rysunek ktory Ci wyslalam .serdeczne dzieki ....<roza>

Basia: A nawiasem mówiąc ciągle zapominam o tym przydatnym wzorze: R_{koła opisanego na tr.o bokach a,b,c} = (abc)/(4P) A tu bez niego ani rusz !