Proszę o pomoc!!!!!! Krzysiek..: Udowodnić ,że liczba o postaci 10ⁿ+4ⁿ-2 jest podzielna przez 6

Basia: można indukcyjnie ?

Krzysiek..: Basiu zwrocilas na to uwagę pomoz mi prosze

Krzysiek..: takkkkkkkk

Basia: zarazzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

Krzysiek..: przepraszam

Basia: 1. dowodzimy tw. dla n =0 L = 10⁰ + 4⁰ - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 = 0*6 0 jest podzielne przez 6 2. zakładamy, że tw. jest prawdziwe dla pewnego k Z. 10^k + 4^k - 2 = 6*p gdzie p∈C i na tej podstawie dowodzimy prawdziwości dla k+1 T. 10^k+1 + 4^k+1 - 2 = 6r gdzie r∈C dowód: L=10^k+1 + 4^k+1 - 2 = 10^k*10 + 4^k*4 - 2 z założenia mamy, że 10^k + 4^k - 6p = 2 L = 10*10^k + 4*4^k - ( 10^k + 4^k - 6p) = 10*10^k - 10^k + 4*4^k - 4^k + 6p = 9*10^k + 3*4^k + 6p = 9*(5*2)^k + 3*(2*2)^k + 6p = 9*5^k*2^k + 3*2^k*2^k + 6p = 3*2( 3*5^k*2^k-1 + 2^k*2^k-1 + p) = 6*(3*5^k*2^k-1 + 2^k*2^k-1 + p) ponieważ p∈C ⇒ 3*5^k*2^k-1 + 2^k*2^k-1 + p = r∈C czyli L = 6*r r∈C czyli jest podxzielna przez 6 c.b.d.o.

Krzysiek..: ślicznie dziekuję....

Basia: A rozumiesz to

kamil: basia a masz moze jakas inna koncepcje na rozwiazanie tego zadania?

Basia: Chwilowo nie, nie zastanawiałam się czy się da bez indukcji.

Basia: Chyba nie widzę innego sposobu, ale to nie znaczy, ze go nie ma.

kamil: zawsze jest inny sposob tak mi mowi nauczycielka zawsze

Basia: Nie będę twierdzić, że nie. Chociaż ciekawa jestem bardzo jakiegoś innego sposobu udowodnienia, że pochodna funkcji liniowej f(x) = ax+b jest równa a ? Oprócz powszechnie znanego.

kamil: powiedzmy ze prawie kazde zadanie mozna wyliczyc na kilka sposobow(przynajmniej na poziomie liceum gdzie calki i pochodne juz nie obowiazuja)

Basia: Prawie każde. Zgoda. Ale podobno "prawie robi wielką różnicę".

Bogdan: Spróbujmy przeprowadzić nie stosując indukcji uzasadnienie, że liczba 10ⁿ + 4ⁿ - 2 jest podzielna przez 6. 1. Dowolna liczba jest podzielna przez 6 bez reszty wtedy, gdy jest parzysta i jest podzielna przez 3. 2. Liczba jest podzielna przez 3 wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. 3. 10ⁿ + 4ⁿ - 2 jest liczbą parzystą, bo każdy jej składnik jest parzysty. Wystarczy więc wykazać, że liczba 10ⁿ + 4ⁿ - 2 jest podzielna przez 3, czyli że suma jej cyfr jest podzielna przez 3 albo równoważnie, że liczba 10ⁿ + 4ⁿ daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3. Cyfry liczby liczby 10ⁿ + 4ⁿ to cyfra 1 na początku i za nią cyfry potęgi 4ⁿ, między cyfrą na pierwszym miejscu, czyli cyfrą 1, a cyframi liczby 4ⁿ mogą być zera, które nie mają wpływu na sumę wszystkich cyfr liczby 10ⁿ + 4ⁿ. Dla ilustracji podaję początkowe kolejne liczby 10ⁿ + 4ⁿ: n = 1: 14 n = 2: 116 n = 3: 1064 n = 4: 10256 n = 5: 101024 n = 6: 1004096 n = 7: 10016384 n = 8: 100065536 W skład sumy cyfr tych liczb wchodzi początkowa jedynka i suma cyfr liczby 4ⁿ. Jeśli suma cyfr liczby 10ⁿ + 4ⁿ przy dzieleniu przez 3 ma dać resztę 2, to suma cyfr liczby 4ⁿ przy dzieleniu przez 3 powinna dać resztę 1. 4ⁿ = (3 + 1)ⁿ = {korzystam z rozwinięcia dwumianu Newtona} = (ⁿ₀)*3ⁿ + (ⁿ₁)*3^n-1 + (ⁿ₂)*3^n-2 + ... + (ⁿ_n-1)*3¹ + (ⁿ_n)*1 Wszystkie składniki tego rozwinięcia za wyjątkiem ostatniego są podzielne przez 3, ostatni składnik = 1, a więc liczba 4ⁿ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a liczba 10ⁿ + 4ⁿ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, stąd stwierdzamy, że liczba 10ⁿ + 4ⁿ - 2 jest podzielna przez 3, a ponieważ jest parzysta, więc dzieli się przez 6. Jestem ciekaw Waszego zdania o przedstawionym sposobie rozumowania.

Basia: Bez wątpienia jak najbardziej poprawny ! Ale dowód indukcyjny chyba jednak prostszy.

Bogdan: Tak, chciałem tylko poszukać innego sposobu.

Basia: Podziwiam Twoją wytrwałość ! A można chyba Twój sposób odrobinę uprościć. 10ⁿ = (9+1)ⁿ i tak jak przy 4ⁿ widać, że resztą z dzielenia przez 3 musi być 1

nocek: Witam " nocków" A mieliście już iść spać

Bogdan: Dobranoc

Bogdan: Dzień dobry. Basiu, masz rację, z rozwinięcia 10ⁿ = (9 + 1)ⁿ widać, że 10ⁿ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, bez tego rozwinięcia z zastosowaniem dwumianu Newtona też to widać, bo suma cyfr liczby zbudowanej z jedynki i samych zer jest równa 1. Życzę miłego dnia

Vax: 10ⁿ+4ⁿ−2 == 4ⁿ+4ⁿ−2 == 2(4ⁿ−1) (mod 6) Oczywiście 4 == 1 (mod 3) ⇒ 4ⁿ−1 == 0 (mod 3) stąd wynika teza.

mateee: dzieki