logarytmy wykresy i zbiory kolorowy: log_x(log_yx)≥0 trzeba to rozwiązać graficznie. jakies pomysły?

Basia: x,y > 0 i x,y≠1

	logxx
logx(		) ≥ 0
	logxy

	1
logx(		) ≥0
	logxy

log_x[(log_xy)⁻¹] ≥ 0 − log_x(log_xy) ≥ 0 log_x(log_xy) ≤ 0 = log_x1 stąd dla x>1 będzie log_xy ≤ 1=log_xx y ≤ x dla x∊(0,1) log_xy ≥ 1=log_xx y≤x ostatecznie: x,y>0 ∧ x,y≠1 ∧ y≤x narysować już chyba łatwo

kolorowy: a czemu w drugiej linijce zamieniłeś w mianowniku log_y x na log_x y? to jest jakaś własność? I czemu w 5 linijce potęga −1 zamienia się na −log? pytam bo nie rozumiem za bardzo, ale bardzo fajnie wytłumaczone

Basia: poczytaj co nieco o logarytmach to wszystko jest tutaj, nie będę tego przepisywać https://matematykaszkolna.pl/strona/i11.html co do pytań to: korzystam z tzw. zamiany podstaw

	logcb
logab =
	logca

	logxx		1
logyx =		=
	logxy		logxy

i z własności log_ab^α = α*log+ab

Olks: Basiu! Zapomniałaś jeszcze o jednym warunku! Dla logarytmów postaci log_ab musi zachodzić nierówność: b>0. Czyli dla log_x(log_yx) musi być spełniona nierówność: log_yx>0 Jest to równoważne nierówności: log_yx>log_y1 Czyli: dla y>1: x>1 dla y<1: x<1 Zatem wykres to nie całe: x,y>0 ∧ x,y≠1 ∧ y≤x ale mały trójkąt (x,y∊(0,1) i x≤y) i część płaszczyzny (x,y>1 i x≤y) Tak jak tutaj: http://www.wolframalpha.com/input/?i=logx%28logy%28x%29%29%3E0+and+-2%3Cx%3C4+and+-2%3Cy%3C4 Mój blog: http://blogmatematyczny.wordpress.com/

pigor: ..., no to może jeszcze ja np. tak : z monotoniczności funkcji logarytmicznej mam kolejno 2−ie, a ostatecznie 4−y alternatywy koniunkcji nierówności następujących : log_x (log_y x) ≥0 ⇔ (0<x<1 ∧ log_y x ≤ 1) ∨ (x>1 ∧ log_y x ≥ 1) ⇔ ⇔ (0<x<1 ∧ 0<y<1 ∧ x ≥ y) ∨ (0<x<1 ∧ y>1 ∧ x ≤ y) ∨ ∨ (x>1 ∧ 0<y<1 ∧ x ≤ y) ∨ (x>1 ∧ y>1 ∧ x ≥ y) ⇔ ⇔ (0<x<1 ∧ 0<y<1 ∧ y ≤ x ) ∨ (0<x<1 ∧ y>1 ∧ y ≥ x) ∨ ∨ (x>1 ∧ 0<y<1 ∧ y ≥ x ) ∨ (x>1 ∧ y>1 ∧ y ≤ x ) i to by było tyle .

pigor: ..., oj, straszne rzeczy wyprawia ten wolfram na moim starym kompie

isia: No to, tak........ najwyższy czas zakupić nowy sprzęt