wielomiany rozbojnik: dla jakich watrosci parametru k rownanie x⁵+(1−2k)x³+(k²−1)x=0 ma dokladnie 3 pierwiastki x[x⁴+(1−2k)x²+(k−1)(k+1)]=0 i co dalej jak to zrobic

ICSP: w nawiasie powstało ci równanie dwukwadratowe. Musi mieć ono dwa rozwiązania : Δ > 0 x₁*x₂ <0

ICSP: oczywiście wprowadź najpierw zmienną pomocniczą : t = x²

Basia: no to już jeden mamy na pewno x=0 czyli x⁴ + (1−2k)x² + (k−1)(k+1) = 0 musi mieć dokładnie dwa pierwiastki t = x² t² (1−2k)t + (k−1)(k+1) = 0 czyli dwie możliwości: 1. Δ=0 i t₀ >0 (bo wtedy mamy x₁ = √t₀ i x₂= − √t₀) 2. Δ>0 i t₁ i t₂ muszą mieć różne znaki (bo gdyby oba były dodatnie to w iksach byłyby 4 pierwiastki, a gdyby oba były ujemne to nie byłoby wcale pierwiastków w iksach) czyli Δ>0 i t₁*t₂<0 oczywiście mamy (1) lub (2)

ICSP: Basiu dokładnie trzy pierwiastki. Jezeli Δ = 0 równanie dwukwadratowe będzie miało 2 pierwiastki podwójne. Czyli łącznie 4.

Basia: nieprawda (x²−1)² = 0 ⇔ x²−1 = 0 ⇔ x=1 lub x= −1 i gdzie te cztery pierwiastki ?

ICSP: (x² − 1)² = [(x−1)(x+1)]² = (x−1)²(x+1)² o tutaj

Basia: ICSP na miłość boską ! matematykę studiujesz ! Δ=0 ⇒ równanie at² + bt + c = 0 ma jeden pierwiastek podwójny

	−b
t0 =
	2a

jeżeli t₀< 0 ⇒ x² ≠ t₀ i nie ma nowych pierwiastków w iksach czyli nadal jest tylko x=0 jeżeli t₀ = 0 ⇒ x²=0 ⇔ x=0 ale to już jest czyli nadal jest tylko x=0 jeżeli t₀>0 ⇒ równanie x² = t₀ ma dwa różne rozwiązania x₁ = √t₀ x₂ = −√t₀ i masz razem z x=0 trzy

Basia: pierwiastek podwójny to jeden pierwiastek (podwójny), a nie dwa pierwiastki dla Δ=0 i t₀>0 masz trzy pierwiastki, w tym dwa podwójne

ICSP: przecież krotności pierwiastków liczymy jako ilość pierwiastków. Właśnie między innymi o tym mówi podstawowe twierdzenie algebry.

Basia: niestety, nie zupełnie co innego znaczy ilość (liczba) pierwiastków, zupełnie co innego krotność równanie (x−1)¹⁰⁰=0 ma jedno i tylko jedno rozwiązanie x=1 i ma jeden i tylko jeden pierwiastek (stukrotny)

rozbojnik: dziekuje Basiu, juz licze

ICSP: Dobra niech będzie Chociaż nadal mam pewne wątpliwości

rozbojnik:

	1
odpowiedz to k ∊ (		, 1)
	2

Basia: Δ = (1−2k)² − 4(k²−1) = 1−4k+4k²−4k²+4 = 5− 4k 1. Δ=0 dla k = ⁵₄

	−(1−2k)		2k−1		3
wtedy t0 =		=		=
	2		2		4

	√3		√3
i mamy x1 =		x2 = −		x3 = 0
	2		2

2. Δ>0 ⇔ 5−4k>0 ⇔ k<⁵₄

	c
t1*t2 =		= k2−1<0
	a

(k−1)(k+1)<0 k∊(−1;1) czyli k∊(−1;1)∪{⁵₄} chyba, że się gdzieś pomyliłam

rozbojnik: tak, tak tez mialam to 5/4 tylko zapomnialam dopisac. dziekuje