Wyjaśnienie rozwiązanego równania jozek: Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 17 x + 39 y = 83 Rozwiązanie: Liczby 17 oraz 39 są względnie pierwsze, zatem nasze równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych. Wyliczmy x: x=^83−39y₁₇=−4−2y+^15−5y₁₇=4−2y+^5(3−y)₁₇ OD TEGO MOMENTU NIE ROZUMIEM: Liczba x jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy y = 3 – 17 t, gdzie t jest liczbą całkowitą. Rozwiązania równania mają zatem postać: x = −2 + 39 t, y = 3 – 17 t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą Z góry dziękuję za odpowiedź, Józek

Basia: może trochę inaczej

	5(3−y)		5(3−y)
aby 4−2y+		∊C ⇒		musi ∊C ⇒ 3−y musi być podzielne przez 17 czyli
	17		17

musi być 3−y = 17t ⇒ musi być y = 3−17t teraz wystarczy podstawić i wyliczyć x

jozek: Nie do końca rozumiem to, dlaczego jednie 3−y musi być podzielne przez 17, a nie cały licznik, tj. 5(3−y).

jozek: Tak właściwie, to mam więcej pytań. Czym jest "t"? Nie wiem dlaczego musi być to równe 17t.

AS:

	83 − 19*y		15 − 2*y
17*x + 19*y = 83 => x =		= 4 − y +		= 4 − y + t1
	17		17

gdzie

	15 − 2*y
t1 =		=> 15 − 2*y = 17 t1 => 2*y = 15 − 17*t1 =>
	17

	15 − 17*t1		1 − t1
y =		= 7 − 8*t1 +		= 7 − 8*t1 + t2 gdzie
	2		2

	1 − t1
t2 =		=> t1 = 1 − 2*t2
	2

Podstawiam do y y = 7 − 8*(1 − 2*t2) + t2 = −1 + 17*t2 Analogicznie x = 4 − y + t1 = 4 − (−1 + 17*t2) + 1 − 2*t2 = 6 − 19*t2 Ostatecznie x = 6 − 19*t , y = −1 + 17*t gdzie t ∊ C Sprawdzenie 17*(6 − 19*t) + 19*(−1 + 17*t) = 17*6 −17*19*t −19 + 19*17*t = 83 Jeżeli znajdziemy pierwsze rozwiązanie (xo,yo) równania a*x + b*y = c wówczas rozwiązaniem równania jest x = xo − b*t , y = yo + a*t , gdzie t ∊ C

Basia: 5(3−y) musi być podzielne przez 17, ale przecież 5 nie jest no to 3−y musi no to skoro 3−y dzieli się przez 17 to 3−y = 17*(liczba całkowita, która jest wynikiem dzielenia) np. 34:17 =2 ⇒ 34=17*2 albo 340:17 = 20 ⇒ 340=17*20 t oznacza dowolną liczbę całkowitą wszystko nam jedno czy 3−y = 17*1 czy 3−y = 17*99 czy 3−y = 17*9999 itd.

jozek: Dzięki wielkie.Teraz rozumiem!

AS: Poprawiam rozwiązanie przeoczyłem,proszę z 19 zrobić 39 Poprawne rozwiązanie to x = 37 + 39*t , y = −14 − 17*t , t ∊ C

jozek: Tak dla sprawdzenia czy rozumiem... proszę tym razem tylko o sprawdzenie, czy dobrze: 5x + 4y = 21 5x = 21 − 4y /:5

	21 − 4y		1 − 4y
x =		= 4 +
	5		5

1 − 4y = 5k 1 − 5k = 4y 4y = 1 − 5k /:4

	1 − 5k
y =
	4

	1 − 5k
5x + 4 *		= 21
	4

	4 − 20k
5x +		= 21
	4

5x + 1 − 5k = 21 5x = 21 − 1 + 5k 5x = 20 + 5k /:5 x = 4 + k Odp: Rozwiązania równania mają postać: x = 4 + k

	1 − 5k
y =
	4

k − dowolna liczba całkowita

jozek:  

Basia:

AS:

	21 − 5*x		1 − x
5*x + 4*y = 21 => y =		= 5 − x +		= 5 − x + t
	4		4

	1 − x
gdzie t =		=> 1 x = 4*t => x = 1 − 4*t
	4

y = 5 − x + t = 5 − (1 − 4*t) + t = 4 + 5*t Rozwiązaniem: x = 1 − 4*t , y = 4 + 5*t , t ∊ C Spr 5*(1 − 4*t) + 4*(4 + 5*t) = 5 − 20*t + 16 + 20*t = 21 t 0 2 5 −3 x 1 −7 −19 13 y 4 14 24 −11

jozek: Czyli jednak źle? Mógłby ktoś trzeci powiedzieć? Zamiast całego innego rozwiązania, wolałbym wskazanie błędów w moim.

Basia: jeżeli chodzi o dowolne rozwiązania to oba są poprawne; co łatwo sprawdzić Twoje:

	1−5k
5(4+k)+4*		= 20+5k +1 − 5k = 21
	4

ale jeżeli to mają być liczby całkowite to nie jest dobrze, bo

1−5k
	nie jest liczbą całkowitą dla każdego k
4

wtedy rozwiązanie Asa a błąd polega na tym dzieleniu przez 4 trzeba doprowadzić do takiej postaci do jakiej doprowadził AS, tak żeby przez nic nie dzielić, najwyżej pomnożyć przez (−1)