funkcje Kasia: Dobry wieczór Mam kilka zadań, które mi zostały z powtórkowych ze wszystkich funkcji, i niestety z nimi nie moge sobie poradzic z kilkoma.. po ponad 200. zadaniach już naprawdę nie mam siły i bardzo bym prosiła o rozwiazania tych zadan ( prosze tylko o wyjasnienie dlaczego dana odpowiedz ma byc, bo same odpowiedzi mam, ale to mi nie pomaga), ja sobie je dokladnie przeanalizuje na spokojnie, bardzo dziekuje za wszelką pomoc oto one: 1. proste o rownaniach y = 2x+4 i y = ax+4, gdzie a≠2, przecinaja sie w punkcie a) A= (−2,0) b) B= (−1,2) c) C= (0,4) d) D= (1,6) 2. Znajdz wspolrzedne takiego punktu nalezacego do prostej o rownaniu y =3x+2, ktorego rzedna jest o 10 wieksza od odcietej. 3.wykresy funkcji f(x) = 3x−3 i g(x) = (a−3)x+3 nie maja punktow wspolnych. wobec tego a) a = −3 b) a = 0 c) a=3 d) a=6 4. Wskaz funkcje, ktorej wykres przecina prosta o rownaniu y =3 w punkcie o dodatnich wspolrzednych. a) y = −0,5x+2 b) y = 0,5x+4 c) y = −2x+5 d) y = 2x+3 5. Ile jest takich argumentow x∊ <2,6>, dla ktorych wartosc funkcji f(x) = 6x−6 jest liczba calkowita? a) cztery b) pięć c) dwadziescia cztery d) dwadziescia pięć 6.wykres funkcji f(x) = 4x−20 mozna otrzymac przesuwajac wzdluz osi OX wykres funkcji g(x) = 4x a) o 5 jednostek w prawo b) 5 o 5 jednostek w lewo c) o 20 jednostek w prawo d) o 20 jednostek w lewo 7. suma odlegosci wierzcholka paraboli o rownaniu y = (x−5)² − 3 od osi ukladu wspolrzednych jest rowna a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 8. Poczatek ukladu wspolrzednych nie jest wierzcholkiem paraboli o rownaniu a) y = −x² b) y = 0,5x² c) y = x²−x d) y = 7x² 9. Jezeli zbiorem wartosci funkcji f(x) − ax² + 6x −2 jest przedzial (−∞,0>, to a) a = −9 b) a = −4,5 c) a = −1 d) a = 0 raz jeszcze z góry baaaardzo dziękuję za każdą pomoc

Maciek: 1c

Qba: 8c − od razu widać, że równanie trochę się wyróżnia od pozostałych

Maciek: 3d

Kasia: Maciek, tak jak napisałam już, odpowiedzi to ja mam, ale potrzebuję wyjaśnienia dlaczego dana odpowiedz ma być...

Maciek: jeśli chodzi o 1 zadanie to obie funkcje przechodzą na osi Y przez 4 (b=4)

Maciek:

Kasia: rozumiem, a jesteś w stanie mi pomóc z pozostałymi zadaniami?

Maciek: jeśli chodzi o 3 zadanie to funkcje nie mogą mieć punktów wspólnych ze sobą, czyli a jednej musi być równe a drugiej (to co stoi przy x) czyli wynik 6

Kasia: nie wiedziałam o tej zaleznosci a jak mozna wytlumaczyc to,ze musza byc sobie rowne te ' a' to wtedy nie beda mialy funkcje punktow wspolnych?

Maciek: po prostu muszą to być proste równoległe

Maciek: źle się wcześniej wyraziłem

Kasia: aaaa, no tak, tak tak! juz rozumiem teraz, nie załapałam coś ok dziękuję gdybys jednak umial rozwiazac pozostale to naprawde nie obrazilabym sie gdybys pomogl ^^

Maciek: to 8 c

Maciek: y=ax² ma zawsze wierzchołek w pkt. (0,0)

Maciek: a świadczy o tym czy ta parabola jest węższa czy szersza

Maciek: w 7 wierzchołek ma (5; −3)

Maciek: 5+3 czyli 8

Maciek: |−3|=3

Maciek: czyli 7d

Maciek: żyjesz?

Maciek: 9a bo parabola musi mieć ramiona skierowane w dół i w "zerze" mieć swój początek

Kasia: przepraszam, nie bylo mnie przy komputerze, juz czytam co napisales

Kasia: dlaczego w 7 suma odleglosci to po prostu suma, i dlaczego skoro suma, czylli raczej powinno byc 5−3, czyli 2, nie

Kasia: i w 9, dalej nie rozumiem dlaczego akurat odpowiedz a jest prawidlowa, wedlug mnie wszystkie 3 pierwsze sa poprawne, w koncu maja − przy a, czyli jest tam malejaca, ale jak sprawdzic ile dokladnie a ma wynosic, jak to sie wylicza?

Qba: co do 9, to jeszcze druga współrządna wierzchołka paraboli (q = −Δ/4a) musi być równa 0

Qba: czyli: (−36 − 8a)/4a = 0 8a = −36 i a ≠ 0 a = −9/2 = −4,5

Kasia: rozumiem, to zostaly mi do jeszcze 2,4,5,6,7, 9 ktorych nie rozumiem.. : (

ICSP: któreś zrobiłaś czy nadal mamy 2,4,5,6,7,9 ?

Kasia: 4 d ma byc prawda? w takim razie zostaly mi 2,5,6,7,9

Kasia: ponawiam prośbę

ICSP: już jestem

ICSP: Niestety w czwartym nie D

Kasia: buuuu to mógłbyś mi pomóc z tymi zadankami, ktore mi zostaly, ICSP? Byłabym Ci ogromnie wdzięczna : )

ICSP: Znajdz wspolrzedne takiego punktu nalezacego do prostej o rownaniu y =3x+2, ktorego rzedna jest o 10 wieksza od odcietej. prosta y = 3x + 2 zapewne w tym zadaniu masz problem z dwiema nazwami : odcięta punku oraz jego rzędna. odcięta punktu to pierwsza współrzędna punktu − x rzędna punktu to druga współrzędna punktu − y rzędna ma być o 10 większa od odciętej czyli zapisujemy równanie: y = x + 10 tworzymy układ równań: y = x+10 y = 3x + 2 Teraz korzystam z metody zgadywania rozwiązywania układów równań i zgaduje że: x = 4, y = 14 Jak nie wierzysz to podstaw i sprawdź

ICSP: Czwarte zrobisz sama Masz jeszcze trzy próby. W końcu zgadniesz xD

Kasia: ICSP, jak Ty dobrze wiesz z czym ludzie mogą mieć problemy w zadaniach dokładnie, nie miałam pojęcia co to ta rzędna i odcięta i mnie już sama treść przeraziła no to teraz jest prościutkie ^^ haha, raczej nie na zgadywaniu polega a co do 4. to jedyną metodę jaką widze to naszkicowanie wykresow kazdej z tych funkcji i po prostu sprawdzenia tego ktora funkcja przetnie tamta prostą w punkcie o dodatnich wspolrzednych, też sposób, nie? tylko znając życie jest prostszy i szybszy sposób..

ICSP: 5. Ile jest takich argumentow x∊ <2,6>, dla ktorych wartosc funkcji f(x) = 6x−6 jest liczba calkowita? a) cztery b) pięć c) dwadziescia cztery d) dwadziescia pięć bardzo fajne zadanko ale zaczynajmy: 6x − 6 ma być liczbą całkowitą. Zatem oczywiste jest że jeżeli od liczby całkowitej odejmiemy 6 to wynik nadal będzie w liczbach całkowitych. Czyli 6x musi być całkowite. teraz musimy znaleźć takie liczby które jeżeli przemnożymy przez 6 będą dawały liczbę całkowitą − przemnożą się bez reszty − będą miały w mianownik 6.

	1		x		2		3
przykład :		* 6 = 1		* 6 = x, ale również:		* 6 = 2,		* 6 = 3 .
	6		6		6		6

itd. teraz wracajmy do twojego zbioru: <2;6>

	1		2		3		4
z samych 2 możemy ułożyć następujące liczby : 2, 2		, 2		, 2		, 2		,
	6		6		6		6

	5
2		jest ich 6
	6

jak zapewne się domyślasz dla 3 takie liczby będą identyczne tylko będzie 3 zamiast 2 przed ułamkami. Tak samo dla 4,5. 6 będzie tylko jedna bo nasz zbiór się kończy teraz dodaj 6 +6 +6 +6 + 1 = ?

ICSP: a nie łatwiej podstawić? y = 3 y = −0,5x + 2 podstawmy za y 3 3 = −0,5x +2 −0,5x = 1 x = −2 − sprzeczność bo przecież ma być dodatni.

ICSP: to które mi jeszcze zostały?

Kasia: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, no tak tak ja tylko wpadlam na 2,3,4,5,6 i pozniej 2,5 ; 3,5 itd i

	1
jeszcze 2		itd, i jakos nie wpadlam na to,ze tamte ulamki tez moga byc bardzo ładnie
	6

wytłumaczyłeś dziękuję powracając do 4. zadania to moge po prostu wyznaczyć to rysując wykreys wszystkich funkcji?

Kasia: no racja, że łatwiej ok ok. zostało 6,7 i 9

ICSP: 6.wykres funkcji f(x) = 4x−20 mozna otrzymac przesuwajac wzdluz osi OX wykres funkcji g(x) = 4x to zadanie to chyba jakiś żart... f(x) = 4x − 20 = 4(x−5) przesunięcie o 5 jednostek w prawo.

ICSP: 7. suma odlegosci wierzcholka paraboli o rownaniu y = (x−5)²2 − 3 od osi ukladu wspolrzednych jest rowna a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 y = (x−5)² − 3 mamy o tyle szczęścia że od razu mamy podane współrzędne wierzchołka x_w = 5 y_w = −3 czyli odległość wierzchołka od osi OX wynosi 3 a odległość wierzchołka od osi OY wynosi 5 . Teraz tylk oto dodać.(Pamiętaj że odległość jest zawsze dodatnia).

ICSP: 9. Jezeli zbiorem wartosci funkcji f(x) − ax2 + 6x −2 jest przedzial (−∞,0>, to a) a = −9 b) a = −4,5 c) a = −1 d) a = 0 zależności między zbiorem wartości funkcji kwadratowej: a< 0 : Zb : y∊(−∞;y_w> a> 0 ; Zb : y ∊ <y_w ; +∞) w twoim zadaniu przypadek pierwszy: czyli mamy równanie: y_w = 0

−Δ
	= 0
4a

policzmy jeszcze Δ = 36 −8a podstawiamy:

−(36 −8a)
	= 0 ⇔ 36 − 8a = 0 ⇔ 8a = 36 ⇔ a = 4,5. No i mamy problem. Żadna z odpowiedzi
− 4

nie jest poprawna xD. Chyba że źle przepisałaś i ten − przed a to =

ICSP: Zresztą teraz nie mam czasu poprawiać. Jak wrócę to poprawie Pozdrawiam

Kasia: zaraz spojrze do zbioru, ale raczej miało być po prostu a = , dziękuję ogromnie za pomoc mam jeszcze mały problem z przesuwaniem wykresów i z tymi różnymi przekształceniami, jak będziesz i będziesz mieć czas i chęci to prosze daj znać to zadam Ci jeszcze kilka pytań

ICSP: już jestem Mam nadzieję że poprawisz już ostatnie sama Tam trzeba tylko minusy dobrze powstawiać.

Kasia: wiem, wiem. Juz wszystko gra pierwsze pytanie, mialam na lekcji powtorke z przeksztalcen roznych wykresow ( mam na mysli translacje , Sx, Sy , So), i w niektorych przykladach, nie wolno bylo robic translacji przed Sx np., a w niektorych musiala wrecz byc robiona na koncu, mozesz mi wytlumaczyc kiedy jaka kolejnosc musi byc zachowana? bo wedlug mnie nie ma ona znaczenia, a tutaj widze,ze w zaleznosci od czegos jest ona rozna. i 3 zadanka ktore mi zostaly 1. Wskaz funkcje, ktora w przedziale (−∞,2) jest malejaca a) y = (x−2)² b) y = 2(x−3)² c) y = −3(x−2)² d) y = 4(x−1)² 2. Funkcja f(x) = 3x² − 6x +4 nie przyjmuje wartosci a) 0,5 b) √2 c) 3,5 d) 100 3. Wartosci nieujemnych nie przyjmuje funkcja a) y = −3(x−3)² b) y = 4(x−4)² − 4 c) y = −5(x−5)² −5 d) y = 6(x+6)² + 6 z gory dziekuje Ci za pomoc ICSP, lub innym osobom !

ICSP: translacja Sx, Sy, So? NIe wiem co to jest Zapewne znam pod inną nazwą. Co do zadań: 1. Monotoniczność funkcji kwadratowych zależy od dwóch rzeczy : − współczynnik a − x_w jeżeli a > 0 ⇔ f↓ :x ∊ (−∞;x_w> oraz f↑ : x ∊<x_w ; +∞) jeżeli a < 0 ⇔ f↑ x ∊ (−∞;x_w> oraz f↓ x ∊<x_w ; +∞) Mając te informacje postaraj się zrobić swoje zadanie 2. określ zbiór wartości funkcji. Od czego on zależy masz napisane o 12:53. Później sprawdx która liczba nie należy do tego zbioru 3. wartości nieujemny ⇔ wartości dodatnie i wartość 0. Parabola musi leżeć nad osią OX(z tego wiemy że współczynnik a musi być >0) oraz y_w ≥ 0 (aby nie miała miejsc zerowych.

Kasia: sx − symetria wzgledem osi OX, sy − symetria wzgledem osi OY i so − symetria wzgledem poczatku ukladu wspolrzednych. Teraz juz jestes w stanie wytlumaczyc jak to jest z ta kolejnoscia?

ICSP: Myślę że trzeba by było robić na konkretnych przykładach.

zzz: translacja to przesunięcie o wektor

Kasia: w 1. zadaniu zostaje wiec odpowiedz b lub d, ale wyliczajac x (czyli p) to jest albo 3 albo 1, a musi byc 2...

ICSP: spójrz uważniej.

Kasia: juz wszystko rozumiem ! dziękuję ogromnie ICSP

ICSP: To jak z odpowiedziami z ostatnich trzech zadań?

Kasia: ICSP, a moge Ci zająć jeszcze 5 minutek? obiecuje, że to już ostatnia prośba

hmm?: Jak obliczyliście zadanie 1 ? ;>

ICSP: nie ma problemu Jeśli czegoś nie wiesz to pytaj.

hmm?: hmm? mógłby mi ktoś pierwsze wytłumaczyć?

Kasia: 1 b 2 a 3 c

hmm?: ?

ICSP: 1 − 2 + 3 +

hmm?: nie kuamam

Kasia: jak przegladalam wszystkie zadania, to zauwazylam,ze jeszcze 3 nie umialam zrobic, odpowiedzi mam podane, ale za nic nie moge rozkminić dlaczego akurat taka jest, te zadania sa troche na myślenie, i chyba mi to nie wychodzi najlepiej xD

	15
1. funkcja g okreslona jest wzorem g(x) =		. Jezeli liczba dodatnia a jest trzy razy
	x

wieksza od liczby b, to a) g(a) = 3 * g(b) b) g(a) = 5*g(b) c) g(b) = 3*g(a) d) g(b) = 5*g(a) mysle nad tym od 15 minut i już mam totalny mętlik w glowie : / 2. Jezeli punkt o wspolrzednych (a,b), gdzie a jest liczba dodatnia, nalezy do wykresu funkcji

	5
f(x) =		, to suma odleglosci tego punktu od obu osi ukladu wspolrzednych jest rowna
	x

a) a+5 b) a² + 5

	a+5
c)
	a

	a2+5
d)
	a

	5
3. Wykres funkcji f(x) = −		nie ma punktow wspolnych z prosta o rownaniu
	x

a) y = −5x b) y = −5 c) x = −5 d) y = 5x bardzo prosze o wyjasnienie dlaczego dana odpowiedz ma byc, nie moge tego sobie wytłumaczyć niestety.

ICSP: Teraz Kasiu wypisuj wartości a oraz x_w dla każdego przykładu z zadania 1.

Kasia: ICSP, co do 1 b, to mam taką nawet odpowiedz w odpowiedziach.. więc musi byc dobrze, narysowalam sobie mniejwiecej wykres jakby wygladal i sie wszystko pieknie zgadza przecież.

ICSP: 1. Wskaz funkcje, ktora w przedziale (−∞,2) jest malejaca a) y = (x−2)² b) y = 2(x−3)² c) y = −3(x−2)² d) y = 4(x−1)² b) 2(x−3)² policzę wartości dla x = 1, x = 2, x = 3 dla x = 1 wartość będzie równa : 2(1−3)² = 2(−2)² = 8 dla x = 2 wartośc będzie równa 2(2−3)² = 2(−1)² = 2 dla x = 3 wartośc będzie równa 2(3−3)² = 2*0 = 0 jak widzisz funckja po przekroczeniu przedziału (−∞;2> nadal maleje. Odpowiedzi czasem kłamią

ICSP: wypisuj te wartości

Kasia: no ja rozumiem,ze dalej maleje, wzielam to pod uwage, ale przeciez zadna inna odpowiedz nie pasuje lepiej, jest a> 0, to jeszcze pozostaje odpowidz d, ale tam maleje tylko do 1, wiec wtedy tez nie pasuje do tego przedzialu, a moze tresc zadania trzeba rozumiec w taki sposob, ze ten przedzial ma zawierac sie w calym przedziale funkcji, ktora maleje? no nie widze innej opcji,

Kasia: jesli a> 0 *

ICSP: jest jeszcze jedna odpowiedź w której a > 0

Kasia: no ale w a) maleje od (−∞, −2) przecież

ICSP: postać kanoniczna: a(x−x_w)² + y_w (x − 2)² x_w = 2 , y₂ = 0 maleje do dwóch

Kasia: jeeeeju! teraz zauwazylam,ze zle przepisalam przyklad, niestety ICSP, tam jest (x+2)², nie ma bata, musi byc odpowiedz b!

ICSP: Teraz b pasuje.

ICSP:

	15
1. funkcja g okreslona jest wzorem g(x) =
	x

. Jezeli liczba dodatnia a jest trzy razy wieksza od liczby b, to a) g(a) = 3 * g(b) b) g(a) = 5*g(b) c) g(b) = 3*g(a) d) g(b) = 5*g(a) najpierw zapiszmy:

	15
g(a) =
	a

	15
g(b) =
	b

a = 3b

	15		5
g(a) = g(3b) =		=
	3b		b

teraz zapisujemy równanie: g(a) = x*g(b) gdzie x jest pewną liczbą którą chcemy obliczyć.

5		15		1
	= x *		⇔ x =
b		b		3

otrzymujemy więc zależność.

	1
g(a) =		g(b). Teraz już nie powinno być problemów z podaniem odpowiedzi.
	3

ICSP: Jeżeli punkt o współrzędnych (a,b) gdzie a jest liczbą dodatnią należy do wykresu funkcji y =

	5
		to suma odległości tego punktu od obu osi układu współrzędnych jest równa
	x

a)a+5 b)a² + 5

	a+5
c)
	a

	a2+5
d)
	2

	5		5
mamy wykres funkcji y =		. Oraz wiemy że do wykresu tej funkcji należy punkt b =
	x		a

	5
czyli mamy punkt : (a;		)
	a

Suma odległości punktu od osi układu współrzędnych jest równa sumie odciętej i rzędnej tego punktu.

	5		a2		5		a2 + 5
a +		=		+		=
	a		a		a		a

ICSP:

	5
3. Wykres funkcji f(x) = −
	x

nie ma punktow wspolnych z prosta o rownaniu a) y = −5x b) y = −5 c) x = −5 d) y = 5x tutaj wystarczy rozwiązać proste układy równań: y = −5x

	5
y = −
	x

rozwiązujemy to:

	5
−5x = −
	x

	5
5x =		⇔ 5x2 = 5 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 v x = −1 (czyli te wykresy przecinają się w dwóch
	x

punktach więc odpowiedź odpada bo nie ma mieć punktów wspólnych).

Kasia: juz jestem, nie bylo mnie przez chwilke, juz sprobuje zrozumiec to co napisales

Kasia: ICSP, nie wiem jak Ci normalnie dziękować! Naprawdę taka chęć bezinteresownej pomocy jest godna podziwu!