a Mała: Cześć mam problem (techniczny) Jak sprawdzić czy liczba (n+3_n+1) jest większa od 4 jest parzysta ten zapisz to n+3 nad n+1

Mała: dodatkowo mam pytanie jak sprawdzić czy rozwinięcie ( x² + 1/x)¹⁰ zawiera wyraz 120 x¹1

.: to drugie to mozesz zrobic z dwumianu newtona albo z trojkata pascala

Mała: myślałam nad tym ale nie wiem jak to zacząć... wszystko rozpisywać muszę ?

Mała: może znajdzie się jakaś pomoc dla zadania 1

b.: trzeba rozpisać ten symbol Newtona, równa się on (n+3)(n+2)/2, bo (n+1)! się skróci. pytanie, czy jest większa od 4 to kwestia sprawdzenia, czy zachodzi nierówność (kwadratowa) (n+3)(n+2)/2 > 4 a z parzystością będzie różnie, spróbuj wypisać sobie kilka wartości, to się pewnie sama zorientujesz, jak jest (a potem dlaczego tak jest )

Bogdan: (ⁿ⁺³_n+1) = (n + 3)! / (( n + 1)! * 2) = = (n + 1)! * (n + 2) * (n + 3) / ((n + 1)! * 2) = (n + 2) * (n + 3) / 2 n € N₊ =>. n + 2 ≥ 3 oraz n + 3 ≥ 4, czyli (n + 2) * (n + 3) / 2 ≥ 6 > 4 Liczby (n + 2) i (n +3) są kolejnymi liczbami naturalnymi, wśród nich jedna jest parzysta, a druga nieparzysta, więc liczba (ⁿ⁺³_n+1) jest parzysta.

Bogdan: Wzór dwumianowy Newtona: (a + b)ⁿ = (ⁿ₀)aⁿb⁰ + (ⁿ₁)a^n-1b¹ + (ⁿ₂)a^n-2b² + ... + + ... + (ⁿ_k)a^n-kb^k + ... + (ⁿ_n)a⁰bⁿ kolejne wyrazy tej sumy tworzą ciąg, oznaczmy go (c_m): c₁ = (ⁿ₀)aⁿb⁰ c₂ = (ⁿ₁)a^n-1b¹ c₃ = (ⁿ₂)a^n-2b² ................................... c_m = (ⁿ_m-1)a^n-(m-1)b^m-1 Wracamy do zadania: Czy rozwinięcie (x² + 1/x)¹0 zawiera wyraz 120x¹¹ ? a = x², b = 1/x, n = 10, szukamy m, (¹⁰_m-1)(x²)^10-(m-1)(1/x)^m-1 = 120x¹¹ 1/x = x^-1 x^{20 - 2m + 2 - m + 1 = x{11} => 23 - 3m = 11 => m = 4 (¹⁰_4-1) = (10*9*8) / (1*2*3) = 120 Istnieje więc w rozwinięciu (x² + 1/x)¹⁰ wyraz 120x¹¹, to 4 wyraz tego rozwinięcia, c₄ = (¹⁰_4-1)(x²)^10-(4-1)(1/x)^4-1