Liczby zespolone ICSP: Potrafi ktoś rysować liczby zespolone? mam np cos takiego: |z−3+4i| < 5 wiem że to będzie koło tylko nie potrafię wyznaczyć srodka.

Sławek: Interpretacja geometryczna nierówności z modułem typu |z−z₀| < r to będzie koło o promieniu r i środku w punkcie z₀ bez okręgu o promieniu r (bo nierówność jest ostra tzn. <) czyli w Twoim zadaniu to będzie tak |z−3+4i| < 5 |z−(3−4i)| < 5

ICSP: Dziękuję bardzo

ICSP: a teraz taki przykład: Re(iz + 2)≥ 0

Sławek: Re(iz+2)≥0 ⇔ Re[i(x+iy)+2] ≥ 0 ⇔ Re[ix+i²y+2] ≥ 0 ⇔ Re[ix − y+2]≥0 ⇔ Re[−y+2 + ix] ≥ 0 ⇔ −y+2 ≥ 0 ⇔ y ≤ 2

ICSP: chyba rozumiem czyli : imz² < 0 ⇔ Im(x+yi)² < 0 ⇔ IM(x² − y² + 2xyi) < 0 ⇔ 2xy < 0 ⇔ xy< 0 czyli zamalowuje drugą i czwartą ćwiartkę bez osi?

Sławek: nie

Sławek: nie zauważyłem, że wpisałeś już nowe zadanie

ICSP: tzn że dobrze?

Sławek: moim zdaniem tak

ICSP: dziękuję Wreszcie coś mi zaczęło wychodzić Jutro jeszcze przysiądę i zobaczymy jak mi pójdzie reszta przykładów

Trivial: Hej I.

ICSP: pomoże ktoś z takim przykładem: (z−i) = z−1 to w nawiasie to ma kreskę na górze.

b.: podstaw z = x+iy (x,y ∊ R) i rozwiaz

ICSP: aaa to x,y musi ∊ R czyli wychodzi mi :

	1−i		i + 1
y =		=		to nie należy do rzeczywistych wiec nie da sie tego narysować?
	2i		−2

b.: to znaczy, ze cos zle rozwiazujesz. podstaw tak jak napisalem i posortuj osobno czesc rzeczywista, osobno czesc urojona po obu stronach. czesci rzeczywiste obu stron musza byc rowne i tak samo urojone, co da dwa rownania (liniowe) na x,y

ICSP: (x − yi − i) = x + yi − 1 −2yi = −1 + i 2yi = 1 − i

	1−i
y =
	2i

	1+i
y =
	−2

nie wiem gdzie błąd robię.

Sławek: Cytat z "Algebra liniowa" Jurlewicz, Skoczylas Odp. Rozdz. I, Zad. 1.4c) "zbiór pusty"

ICSP:

4
	= ź
z

gdzie ź to sprężenie. Osobiście stawiam na okrąg o promieniu 4 i środku w punkcie (0;0) ?

Godzio: z ≠ 0 4 = z * ź = |z| /² 16 = x² + y² Ok, tylko uwzględnij z ≠ 0

ICSP:

	1+iz
a Godziu coś takiego : Im		= 1
	1−iz

Na to już zupełnie nie mam pomysłu

Godzio: z = x + yi

1 + iz		1 + xi − y		1 + y + xi
	=		*		=
1 − iz		1 − xi + y		1 + y + xi

(1 + xi)2 − y2		1 − x2 + 2xi − y2
	=		=
(1+ y)2 − (xi)2		1 + 2y + y2 + x2

1 − x2 − y2		2x
	+		i
...		x2 + y2 + 2y + 1

	2x
lm(...) =		= 1
	x2 + y2 + 2y + 1

itd.

ICSP: czyli mam narysować coś takiego :

2x
	= 1
x2 + y2 + 2y + 1

Godzio: No po przekształceniach, na oko okrąg jakiś

ICSP: no to x ≠ 0 oraz y ≠ −1 2x = x² + y² + 2y +1 x² − 2x +1 +(y+1)² = 1 (x−1)² + (y+1)² = 1 ?

Godzio:

ICSP: Już zaczynam rozumieć to rysowanie Kolokwium się zbliża i trzeba się w końcu do roboty wziąć

Godzio: A żebyś wiedział kolokwium ... zbliża się hmmm ... wtorek

ICSP: hmm skąd wiesz

Godzio: A wiesz, też mam wtedy

ICSP: To może jeszcze o tej samej godzinie mamy 17?

Eta: I z tym samym wykładowcą ?

ICSP: kto wie

Godzio: 13:15

ICSP: Znowu się za to zabieram i nie jestem pewien takiego twierdzenia. z * ź = |z|² Jeżeli jest prawdziwe to wtedy równanie: z*ź + (5+i)z + (5−i)ź + 1 = 0 mogę sprowadzić do postaci (x+5)² − (y−1)² = 25 ź oznacza sprężenie.

ICSP: Trivial proszę Jeszcze tylko 6 podpunktów zrysowania

Trivial: Podstaw z = (x−iy) i wymnażaj.

ICSP: tzn podstawiłem. Tylko nie jestem pewien czy dobrze mi wyszła ta ostatnia postać

Trivial: http://www.wolframalpha.com/input/?i=z*u+%2B+%285%2Bi%29z+%2B+%285-i%29u+%2B+1+%3D0%2C+where+z+%3D+x%2Biy%2C+u+%3D+x-iy

ICSP: genialne Możesz mi jeszcze powiedzieć jak oznaczamy osie? Czy zawsze są liczby rzeczywiste czy trzeba czasem wprowadzić jednostkę urojoną? np. taki przykłąd: |z−3+4i| = 1 |z − (3 − 4i)| = 1 okrąg o środku w punkcie 3;−4i oraz promieniu 1 Na osi y wstawiam jednostkę urojoną?

Trivial: Nie można tak oszukiwać. Podstawiaj z = (x+iy) i licz. Nie wyjdzie wcale okrąg.

ICSP: |x+yi −3 + 4i| =1 |x−3| + i(y+4)| = 1 mógłbyś małą podpowiedź dać?

Trivial: Sorry. Coś mi się pomieszało i zacząłem sam oszukiwać. Tak. To będzie okrąg taki jak mówisz.

Trivial: Powodzenia z zadankami. Ja idę.

ICSP: No to zaczynamy kolejne:

	z−2i
|		| = 1
	z+1

co w takich przypadkach robić? podstawiać z = x+yi oraz usuwać niewymierność z mianownika? Nawet jeżeli podstawię to będę miał w mianowniku 3 wyrazy? Jak ma trzy wyrazy to porządkować to części rzeczywistych i urojonych a następnie przemnożyć przez sprężenie tej liczby która mi wyjdzie?

Monika: No to zostaliśmy sami z zadankami

Trivial:

z−2i		x + i(y−2)
	=		= ... lecę.
z+1		(x+1) + iy

ICSP: To taki myk tutaj jest

ICSP: jestem w momencie:

	x2 + x + y2 − 2y + i(y−2x−2)
|		| = 1
	x2 + 2x + 1 + y2

nie mam dalej pomysłu

ICSP: chwilkę mam inny pomysł

ICSP: |x + i(y−2)| = |(x+1) + yi| i nie wiem co zrobić gdy dwa moduły są równe

Sławek: A ja bym zaproponował coś takiego:

	z1		|z1|
najpierw skorzystanie z własności : |		| =		z2 ≠ 0
	z2		|z2|

czyli

	z−2		|z−2|
|		| =
	z+1		|z+1|

a potem

|z−2i|
	=1 ⇔
|z+1|

|z−2i| = |z+1| ⇔ |z−2i| = |z−(−1)| Będzie to symetralna odcinka o końcach w punktach −1 oraz 2i

ICSP: Dziękuję Sławku. JUz teraz wiem jak się z tymi modułami robi

ICSP: zostały mi jeszcze dwa ostatnie przykłady: 2 ≤ |iz−5| < 3 podstawiam: |ix − y − 5| i tutaj nie wiem jak to zinterpretować.

	z+i
|		| ≥ 1
	z2+1

z tego wnioskuje że: |z+i| ≥ |z²+1| ale nie wiem co dalej.

ICSP: Godziu spojrzysz?

Godzio: Spojrzę

Godzio: ICSP ... BANAŁ ! z² + 1 = ? Co do pierwszego. To jest pierścień o środku w .... zawierający się pomiędzy okręgami o środku w ... o promieniach 2 i 3

Monika: ISCP co z moim wykresem do zad 2

Godzio: Monika, ICSP chyba poszedł, więc jak chcesz to daj to co trzeba narysować to to zrobię

Monika: Dodałam nowe

ICSP: ale godziu: |−ix −y − 5| podstawiłem i to ma być niby okrą o środku (5;−1)

ICSP: Trivial dziękuje

Godzio: x = 0. y = −5 tak ?

ICSP: tak

ICSP: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C%28z%2Bi%29%2F%28z%5E2%2B1%29%7C+%3E1+where+z+%3D+x%2Biy − omg ostatnie Może ktoś wytłumaczyć?

ICSP: kończę z rysowaniem

	π
mam teraz przedstawić liczbę : 1 + itgα α∊(0;		) w postaci trygonometrycznej. Liczę więc
	2

moduł.

	1
|z| = √1 + tg2α =
	cosα

czyli liczba jest w postaci:

1
	(cosα + isinα)
cosα

To jest prawidłowe rozwiązanie? Jeśli tak to jak zrobić taki przykład:

	π
sinα + icosα α ∊ (0;		)
	2

AC: cosβ + isinβ gdzie β=π/2 −α

Sławek:

	5
2 ≤ | iz−5| < 3 ⇔ 2 ≤ | i(z−		) | < 3 ⇔ 2 ≤ | i(z+5i) | < 3
	i

⇔ 2 ≤ | i | * |(z+5i) | < 3 ⇔ 2 ≤ 1 * |(z − (−5i) | < 3 ⇔ 2 ≤ |(z − (−5i) | < 3

Sławek:

	z+i		|z+i|		|z+i|
|		| ≥ 1 ⇔		≥ 1⇔		≥ 1
	z2+1		|z2+1|		|z2+1|

|z+i|		|z+i|
	≥ 1 ⇔		≥ 1
|(z+i)(z−i)|		|z+i|*|z − i|

	1
⇔		≥ 1 ⇔ |z − i| ≤ 1
	|z − i|

Sławek:

ICSP: Dziękuję Sławku i AC za pomoc

ICSP: ale czegoś tu nie rozumiem

	π
cosβ + isinβ gdzie β∊		− α
	2

i to jest już odpowiedź? Jeśli tka to jakaś dziwna bo nigdy się z takim sposobem nie spotkałem. Nie istnieje inny sposób na rozwiązanie tego?

Godzio: To jest typ zadania "super proste" tylko trzeba napisać tą banalną obserwacje

ICSP: i tylko tyle?

Godzio: Tak

ICSP: ciekawy przykład

Godzio: Nudny, nie ma co liczyć

ICSP: W takim razie Godziu proszę:

	π		π
(sin		+icos		)24 dla ciebie
	6		6

Sławek: Moje trzy grosze z = x + iy = |z|(cosφ + isinφ) z = sinα + i cosα |z| = √sin²α + cos²α = 1

	x
cosφ=		= sinα
	|z|

	y
sinφ=		= cosα
	|z|

	π
więc φ =		− α
	2

zatem

	π		π
z = 1*[cos(		− α) + i sin (		− α)]
	2		2

AC: Nie ma co liczyć wynik 1

ICSP:

	π		π
cos		− isin		to nie jest postać trygonometryczna?
	4		4

:): Jest bo zauważ że cos(−x)=cosx a sin(−x)=−sinx

	π		π		π		π
czyli cos(−		) + sin(−		) = cos		− sin		.
	4		4		4		4

Gaga: jak narysować? Rez + Imz = 0 ?

aaa: |(z−i)/(z−1)| >1 where z = x+iy pomoże ktoś?

zajączek wielkanocny: Mnie się udało narysować

ICSP: |z − i| > |z − 1| Czyli odległość od punktu (0 ; −1) musi być większa od odległości od punkt (1 ; 0 )

ICSP: pierwszy punkt (0 ; 1)

Godzio: ICSP uczy się liczb zespolonych

ICSP: