Monotonicznosc i ekstrema Stach: zbadac monotonicznosc i wyzaczyc ekstrema lokalne funkcji

	1
f(x)=		+4x
	x

	1
f'(x)=−		+4
	x2

	9+x2
f(x)=
	x

	2x−9
f'(x)=
	x2

nie wiem jak to ugryzc moglby ktos cos podpowiedzeic?

Bizon: − policz pochodną i badaj jej znak (określ monotoniczność) − policz drugą pochodną (sprawdż istnienie ekstremum)

Stach: eh wiem co mam zrobic ale nie wiem jak to zrobic ...

Aga: a) Nie znasz wzorów na obliczanie pochodnej? (4x)^'=

	1
(		)'=(x−1)'=
	x

Bizon: napisz "ludziska zróbcie to za mnie bo mi się nie chce"

Aga: Podpowiedzieć = wykonać?

wik: Pomagac mozna tylko chcacemu...

Stach: o to chodzi ze mam policzone pochodne z tych funkcji przeciez sa podane to raz dwa gdybym wiedzial jak to zrobic to bym nie pytal chodzi o to ze nie wiem po prostu jak sie bada znak pochodnej nie rozumiem tego jesli czegos nie rozumiem to jak moge co kolwiek zrobic...

Stach:

	1		1		1
f'(x) = 0 <=> −		+4 = 0 <=> −		= −4 <=> x =
	x2		x2		2

	1		1		1
f'(x) > 0 <=> −		+4 > 0 <=> −		> −4 <=> x >
	x2		x2		2

	1
czyli tak		to bedzie minimum bo po lewej stronie liczba ma znak '−' po prawej '+' tak
	2

	1
samo wychodzi z drugiej pochodnej zmienia ona znak na '+' czyli		to jest moje minimum
	2

tak?

	1
a zbiory dla f'(x)>0 to x nalezy od −nieskonczonosci do 0 i od		do nieskonczonosci
	2

	1
a zbory dla f'(x)<0 to (0 ;		>
	2

Stach: do tego doszedlem ale nie potrafie tego zinterpretowac no i nie wiem czy to w ogole jest dobrze

Jolanta: jakoś tak nie było? liczy się pierwszą pochodną =0 dla x=1/2 teraz podstawiasz za x 1/2 i liczysz druga pochodną jezeli jet mniejsza od 0 to jest max jeżeli >0 to min

Stach:

	1
hm podstawiam 0 i 1/2 do wzoru na pochodna tak f'(x) = −		+4
	x2

jezeli podstawie 0 wyjdzie 4 jesli podstawie 1/2 wyjdzie 0 widzisz nie bardzo rozumiem twoje tlumaczenie

Jolanta: bo niejasno napisałam, liczysz drugą pochodna z pierwszej i podstawiasz za x

Stach:

	1
czyli druga pochodna z pierwszej to bedzie f''(x)=		czyli po podstawieniu 1/2 wychodzi
	x4

16 czyli jest to nasze minimum a co z maksimum w takim wypadku? i jeszcze jedna sprawa jezeli powiedzialem ze

	1
f'(x) > 0 dla x nalezacych od −nieskonczonosci do 0 i od		do nieskonczonosci
	2

to w tych przedzialach funkcja f(x) jest rosnaca a dla f'(x) < 0 funkcja f(x) jest malejaca

	1
ok tylko czy dobrze wyznaczylem te X? tzn ze od −nieskonczonosci do 0 i od		do
	2

nieskonczonosci... mam nadzieje ze nie zamieszalem

Jolanta: ale ta druga pochodna chyba jest zle

	9+x2
f(x)=
	x

	2x*x−(9+x2)*1		x2−9
f'(x)=		=
	x2		x2

a za pomocą znaków tak jak napisałeś też sie robi

Stach: przepraszam ale to sa dwa osobne przyklady i tak chyba cos jest nie tak z nia

	0+2x*x − 9 + x2*1		2x2−9+x2
f'(x)=		=
	x2		x2

	f(x)
czy to nie tak powinno wygladac uzywajac wzoru na [		]'
	g(x)

Jolanta: jeżeli druga pochodna >0 to funkcja ma w punkcie x=1/2 min

	1		1
ymin=		+4*		=
	1/2		2

Jolanta: − przed nawiasem −x²

Jolanta: Jeżeli uczyłeś sie na znakach to tak zrób Ja nie bardzo jeszcze pamiętam co i jak. Radziłabym napisac w nowym watku po kolei co zrobiłes .Po południu ludzi przybywa,myśleże ktos Ci pomoże

Aga: Nie zauważyłam, że obliczyłeś pochodną. D_f=D_f^'=R−{0}

	1
f'(x)=0⇔−		+4=0 /*x2
	x2

4x²−1=0 (2x−1)(2x+1)=0

	1		1
x=		lub x=−		warunek konieczny istnienia ekstremum jest spełnione, gdyby pochodna
	2		2

nie miała miejsc zerowych nie byłoby ekstremum. Na podstawie znaku pierwszej pochodnej wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz znajdujemy

	4x2−1
punkty ekstremalne.f'(x)=		>0⇔(4x2−1)x2>0.
	x2

Rysuję wężyk. Na podstawie tego rysunku odpowiadasz na postawione pytaniaDrugą pochodną obliczamy, gdy chcemy znaleźć punkty przegięcia.

Aga:

	−1		1
Funkcja rośnie w przedziałach(−∞;		) oraz(		,∞}
	2		2

	−1		1
maleje (		, 0) oraz (0,		)
	2		2

	−1
y{max}=f(		=−4.
	2

	1
f{min}=f(		=4.
	2

Mam nadzieję ,że nie pomyliłam się w rachunkach.

Stach: co do tego pierwszego to zawsze trzeba kombinowac tak żeby dostać postać funkcji kwadratowej? bo chyba o to własnie chodziło

	9+x2
f(x)=		a jak bedzie wygladało f'(x) bo mi jakoś nie wychodzi tak jak mi ludzie podają
	x

że powinno być jesli ktoś mógłby ten przykład rozpisać krok po kroku albo jakiś inny podobny byłbym wdzięczny

Aga:

	x2−9
f'(x)=
	x2

Jeśli sposób, który Ci zaproponowałam jest dla Ciebie czytelny, to drugi przykład będzie identyczny, tylko x=−3, x=0 i x=3. Jak zapiszesz swoje obliczenia, to późnym wieczorem mogę sprawdzić . Tu nie chodzi o żadne kombinowanie, po prostu na początek masz łatwe przykłady.

Stach: nie o to mi chodzilo ale tak widze juz ze bedzie tam −3 i 3, chodzilo mi o to ze mylilem sie w

	9+x2
policzeniu pochodnej od f(x)=		ale po kolei sobie rozpisalem i wszystko juz wiem
	x

chyba...

ewa: czy ktos by mi pomogl?

ewa: 1. zbadaj monotonicznosc i wyznacz ekstrema a) f(x)= (3−2x⁾e* to podniesienie do kwadratu, *to x z indeksem gornym(nie wiem jak to sie wstawia tutaj b)f(x)=2ln x + 1/x