suma ciągu Ania: Oblicz sumę ciągu 1² + 2² + ... + n²

Vax:

n(n+1)(2n+1)
6

Ania: jak to policzyłeś?

Vax: ∑_i=1ⁿ i³ + (n+1)³ = ∑_i=1ⁿ⁺¹ i³ = 1 + ∑_i=1ⁿ (i+1)³ = 1 + ∑_i=1ⁿ (i³+3i²+3i+1) = 1 + ∑_i=1ⁿ i³ + 3∑_i=1ⁿi² + 3∑_i=1ⁿi + ∑_i=1ⁿ1 = 1 +

	3n(n+1)
∑i=1ni3 + 3∑i=1ni2 +		+n
	2

⇔

	3n(n+1)		n(n+1)(2n+1)
3∑i=1ni2 = (n+1)3 −		−n−1 =		⇔
	2		2

	n(n+1)(2n+1)
∑i=1ni2 =
	6

AS: A może mniej uczenie − tak na prosty chłopski rozum Potrzebny będzie wzór na sumę 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n + 1) Korzystamy z tożsamości (x + 1)³ − x³ = 3 x² + 3 x + 1 Dla x = 1,2,3,... ,n otrzymujemy 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 + 1 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 4³ − 3³ = 3*3² + 3*3 + 1 =================== (n + 1)³ − n³ = 3 n² + 3 n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)³ − 1³ = 3 *(1² + 2² + ... + n²) + 3*(1 + 2 +...+ n) + n (n + 1)³ − 1³ = 3*S + 3*n/2(n + 1) + n n³ + 3 n² + 3 n + 1 − 1 = 3 S + 3/2n² + 3/2 n + n |*2 2 n³ + 6 n² + 6 n = 6 S + 3 n² + 3 n + 2 n 6S = 2 n³ + 3 n² + n

	1
S =		n (n + 1) (2 n + 1)
	6

Vax: To jest identyczna metoda.

AS: Ojej, zgadzam się ale wydaje mi się trochę bardziej przejrzysta. Nie wiem na jakim etapie zdobywania wiedzy jest Pani Ania.

Kaki: Jak Ty to stronami dodałeś ? Nagle zamiast n wskakuje 1 w działaniu po sformułowaniu "stronami dodajemy"