?? ICSP: Mam pewien problem. Jeżeli mam równania: sinx + cosx = 1 sinx + cosx = −1 podnoszę je obustronnie do kwadratu to otrzymuję to samo. To znaczy że mają takie same rozwiązania?

Jack: szukasz rozwiązania w R? Jeśli tak... to przecież masz układ sprzeczny

ICSP: niee To nie układ równań tylko dwa osobne równania do rozwiązania.

ICSP: jaki wstyd.. Nie umiem rozwiązać tych równań Dostanę jakąś wskazówkę?

kolos: sinx + cosx =1 rysując to masz na pewno rozwiązania x=2kπ ; x=^π₂+2kπ ; innych rozwiązań nie ma sinx+cosx=−1 masz podobnie

ICSP: czyli muszę to narysować? Metody algebraicznej nie ma?

Jack: sinx +cosx=1 /: √2/2 ^√2₂sinx+^√2₂cosx=^√2₂ Teraz powinieneś już dalej pociągnąć

Jack: pewnie że jest

Eta:

	π
cosx= sin(		−x)
	2

	a+b		a−b
sina+sinb= 2sin		*cos
	2		2

otrzymasz:

	π
L= √2*cos( x−		)
	4

ICSP: yyy to jest pierwsze równanie z kartki i widzę te metody pierwszy raz w życiu... anie jednej ani drugiej nie rozumie. Zapewne

√2		√2		√2
	sinx +		cosx =		trzeba zawinąć do jakiegoś wzoru?
2		2		2

Trivial: Można to zwinąć np. tak:

	√2		√2		π		π
sinx + cosx = √2(		sinx +		cosx) = √2(cos		sinx + sin		cosx) =
	2		2		4		4

	π
= √2sin(x+		).
	4

ICSP: teraz widzę

Jack: na rzadko tu wchodzisz, ICSP

ICSP: chyba czas wziąć się poważnie do roboty Jeszcze chciałem się spytać o ten wzór co Eta napisała : sinα + sinβ = ... Skąd on się wziął i czy są podobne wzory dla cos,tg,ctg?

Basia: ICSP rozwiązanie już masz, a ja w kwestii formalnej: a = b ⇒ a² = b² ale nie odwrotnie a Twoje równania nie mogą mięć takich samych rozwiązań bo są sprzeczne a+b = 1 a+b = −1 −−−−−−−−−−−−−−− 1 = −1 sprzeczność

Jack: Tutaj masz http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#Podstawowe_to.C5.BCsamo.C5.9Bci_trygonometryczne

Trivial: Basiu, myślę, że ICSP chodziło o to, że mając dwa takie równania (i rozwiązując je osobno) dostaniemy takie same rozwiązania.

Trivial: Co oczywiście nie jest prawdą.

Basia: są na: sinα±sinβ i cosα±cosβ nie pamiętam skąd się wzięły; zapewne ktoś go kiedyś udowodnił, ale nie mam pojęcia kto a wyprowadzić je łatwo zaczynając od prawej i korzystając z wzorów na sin i cos sumy i różnicy http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#Podstawowe_to.C5.BCsamo.C5.9Bci_trygonometryczne na tg i ctg sam sobie wyprowadź

Basia: Trivial gdybyś rozwiązując je osobno dostał te same rozwiązania udowodniłbyś właśnie, że 1 = −1, bo sinx₀ + cosx₀ = 1 i sinx₀ + cosx₀ = −1 i byłoby to w obu przypadkach to samo x₀

ICSP: czyli :

	√2		√2		π		π
sinx − cosx = √2(		sinx −		cosx) = √2(sinx cos		− cosx sin		) =
	2		2		4		4

	π
√2sin(x −
	4

Trivial: Basiu: post 17:10

Trivial: ICSP tak, ale bezpieczniej jest zapisać w postaci:

	π		π
... = √2[sinxcos(−		) + cosxsin(−		)].
	4		4

Wtedy od razu widać, które jest z minusem.

ICSP: a takie równanie :

	x
cosx − √2sin		= 1
	2

myślę nad czymś takim:

	x		x		x		x		x
cosx = cos2		− sin2		= 1 − sin2		− sin2		= 1 − 2sin2
	2		2		2		2		2

czyli :

	x		x
1 − 2sin2		− √2sin		= 1
	2		2

teraz 1 skrócę i wyciągnę przed nawias. Będzie dobrze?

Basia: jak najbardziej (można jeszcze inaczej, ale Twój sposób jest oczywisty i logiczny)

Trivial:

ICSP: można inaczej? Będzie ktoś miły i pokaże inny sposób?

ICSP:

	π		3
czy odp to x = 2kπ v x = −		+ 4kπ v x = −		π + 4kπ ?
	2		2

Basia: chyba się pomyliłam; po zastanowieniu nie widzę innego rozsądnego sposobu

Basia:

ICSP: hmm Basiu czy ty masz możliwość usuwania postów?

Basia: mam

Eta:

Basia: usuwam, jeżeli się "rąbnę"; jak przed chwilą

ICSP: bo tak mi się zdawało przez chwilę ale może już jestem zmęczony i widzę głupoty na razie dziękuje za okazana pomoc i idę odpocząć

ICSP: sin²x + sin²(2x )= 1 czy jest jakaś prostsza metoda niż sprowadzenie tego do równania : −4sin⁴x + 5sin^x − 1 wiem żę to równanie podwójnie kwadratowe i bez problemu je rozwiąże ale jest po prostu ciekawy czy istnieje jakaś inna metoda?

ICSP: −4sin⁴ x + 5sin² x − 1

Basia: t = sin²x 0≤t≤1 −4t² + 5t − 1 = ?

ICSP: czyli to jedyna metoda

ICSP: a jakiś pomysł na to : sin3x = cosx − sinx

Basia: a............ nie doczytałam poprzedniego postu; nie widzę prostszego sposobu (zresztą mniej prostego też nie)

Basia: sin3x + sinx = cosx 2sin^3x+x₂*cos^3x−x₂ − cosx = 0 2sin2x*cosx − cosx = 0 cosx(2sin2x − 1) = 0

ICSP: jak wy to robicie ? Przecież ja bym nie wpadł na coś takiego Są jakieś ustalone zasady?

;): Moze tak: sin²x + sin²(2x) = 1 sin²(2x) − cos²x = 0 4sin²xcos²x − cos²x = 0 cos²x(4sin²x − 1) = 0 cos²x(2sinx + 1)(2sinx − 1) = 0

Eta:

Basia: ; ) : fajny sposób

Trivial: ICSP, przecież te zadanka są na wzory.

Basia: ICSP standardowa odpowiedź: jak już rozwiążesz 100, to przy 101 itd. a poważnie: jeżeli są funkcje różnych kątów to na ogół (ale nie zawsze) sprawdzą się wzory na sumę (różnicę) sinusów (cosinusów)

ICSP: co do tego równania:

	π		π		5π
sin3x = cosx − sinx to x =		+ kπ v x =		+ kπ v x =		+ kπ
	2		12		12

Basia:

ICSP: chyba sobie przypomniałem jak to się robi

Eta:

ICSP: a jednak nie Padłem na takim : cos7x − sin5x = √3(cos5x − sin7x)

;):

	1
cos7x − sin5x = √3cos5x − √3sin7x / *
	2

1		√3		1		√3
	cos7x +		sin7x =		sin5x +		cos5x
2		2		2		2

Dalej chyba wiesz jak.

Basia: cos7x − sin5x = cos7x − cos(^π₂−5x) = −2sin(x + ^π₄)*sin(6x+^π₄) cos5x − sin7x = cos5x − cos(^π₂−7x) = −2sin(−x − ^π₄)*sin(6x+^π₄) = 2sin(x+^π₄)*sin(6x+^π₄) sprawdź, bo liczyłam w pamięci i mogłam się pomylić

ICSP: czyli dalej:

	π		π
sin(		+ 7x) = sin(5x +		)
	6		3

tylko nie wiem co mi to teraz dało:(

Eta: Porównaj miary kątów i uwzględnij okresowość

;): Jaka jest okresowosc funkcji sinus? 2π wiec mamy

	π		π
7x +		= 5x +		+ k * 2π
	6		3

	π
2x =		+ k * 2π
	3

	π
x =		+ k * π
	6

ICSP: czyli :

π		π		π
	+ 7x = 5x +		⇔ 2x =
6		3		6

Basia: lub 7x + ^π₆ = π − (5x+^π₃) + 2kπ

ICSP: pogubiłem się

;): Dziekuje Basiu za uzupelnienie

Basia: 2x = ^π₆+2kπ lub 12x = ^π₂+2kπ

Basia: napisz sobie powolutku na kartce, krok po kroku; połapiesz się

ICSP:

	π		π		1
czyli x =		+ kπ v x =		+		kπ
	12		24		6

Basia: tak wyszło, ale posprawdzaj rachunki (na kartce)

ICSP: czyli gdzieś sie pomyliłem?

;): wedlug mnie wszystko dobrze ale niech ktos madrzejszy sie wypowie

Basia: raczej nie, ale nie jestem pewna czy to ja się nie pomyliłam

Basia: poprzednia odpowiedź dla jasności powinna brzmieć: raczej się nie pomyliłeś,................

ICSP: przeliczyłem jeszcze raz i wyszło to samo Dziękuję bardzo. Odpocznę i chyba zmienię troszkę dział.