oblicz granice ciągu Tarkus:

	n√3n+2n		3
czy		=
	n√5n+4n		5

Basia:

n√3n+2n		3
	≠
n√5n+4n		5

ale jego granica tak

Tarkus: dzięki a czy mogłabyś rozwiązać te 2 przykłady chodzi o granicę tylko prosiłbym o jakieś wyjaśnienia :

n2−1
	=
2−n3

√2n²−n+5−√2n²+3=

Basia: ad.1 podziel licznik i mianownik przez n³ ad.2 pomnóż i podziel przez √2n²−n+5+√2n²+3 a potem w mianowniku zapisz = √n²(2−¹_n+⁵_n²) +√n²(2+³_n²) = n*[ √2−¹_n+⁵_n² + √2+³_n² ] i podziel licznik i mianownik przez n

Tarkus: w pierwszym granica 0 w drugim w liczniku wychodzi mi 1 ale nie wiem co zrobić z mianownikiem po podzieleniu przez n

Tarkus: w mianowniku √2 + √2+∞ = +∞ ?

1
	=0 ?
∞

Basia: ad.1 dobrze ad.2 w liczniku będzie 2n²−n+5 − (2n²+3) = −n+2 czyli dostaniesz

−n+2
n*[ √2−1n+5n2+√2+3n2 ]

a po podzieleniu licznika i mianownika przez n

−1+2n
√2−1n+5n2+√2+3n2

Basia:

	−1
co dąży do
	2√2

Tarkus: nie rozumiem dlaczego w mianowniku jest 2√2

Tarkus: ok już wiem

Tarkus:

	n+10
(		)n granica 10e?
	n

mam jeszcze parę przykładów: ⁿ√2+sin(n) √n(√n+2−√n)

	n−3
(		)2n+1
	n+2

Basia: ad.1 = (1+¹⁰_n)ⁿ → e¹⁰ ad.2 z tw. o trzech ciągach 1 ≤ 2+sin(n) ≤ 3 (bo −1 ≤ sin(n) ≤1) ad.3 pomnożyć i podzielić przez √n+2+√n ad.4

	n+2−5
= (		)2(n+12) =
	n+2

((1− ⁵_n+2)^n+1₂)² = [ (1− ⁵_n+2)ⁿ*(1− ⁵_n+2)^1/2 ]² = [ (1− ⁵_n+2)ⁿ⁺²⁻²*(1− ⁵_n+2)^1/2 ]² = [ (1− ⁵_n+2)ⁿ⁺²*(1− ⁵_n+2)⁻²*(1− ⁵_n+2)^1/2 ]² → [e⁻⁵*1*1]² = e⁻¹⁰

Tarkus: dzięki wielkie

Tarkus:

	n+1
(		)n granica=e2 ?
	n−1

Basia: tak

Tarkus:

	√n(n+2−n)		√n(n+2−n)
co do ad.3		=		=
	√n+2+√n		√n( √n+2√n +1)

2
	=0 czy to tak ma wyglądać?
+∞

Basia: dobrze, ale nie do końca

	2		2
=		→		= 1
	√1+2n+1		2

Tarkus: czyli co jest granicą w ad.2 bo jakoś nie bardzo rozumiem

Basia: 1 ≤ 2+sin(n) ≤ 3 ⁿ√1 ≤ ⁿ√2+sin(n) ≤ ⁿ√3 lim_n→∞ⁿ√1 ≤ lim_n→∞ⁿ√2+sin(n) ≤ lim_n→∞ⁿ√3 no to jaka ?

Tarkus: mogłabyś pomóc przy tych dwóch :

	1+2+3+ ... +n		n
an=		−		=
	n+2		2

	1		1		1
an=		+		+ .... +
	n2+1		nn2+2		n2+n

Tarkus: czyli 1 dzięki

Basia: ad.1

	n(n+1)
1+2+....+n =
	2

potem do wspólnego mianownika i wyjdzie ad.2 z tw. o trzech ciągach dla k =1,2,....,n n² ≤ n²+k ≤ n²+n

1		1
	≥		≥ U{n2+n}
n2		n2+k

	1		1		1
∑k=1,...n		≥ ∑k=1,...n		≥ ∑k=1,...n
	n2		n2+k		n2+n

n		1		n
	≥ ∑k=1,...n		≥
n2		n2+k		n2+n

1		1		1
	≥ ∑k=1,...n		≥
n		n2+k		n+1

wyciągnij wnioski

Tarkus:

	n		∞
czyli w ad1		=		= +∞ tak?
	4+4n		4

Basia:

n(n+1)2		n
	−		=
n+2		2

n2+n		n
	−		=
2(n+2)		2

n2+n − n(n+2)
	=
2(n+2)

n2+n − n2 − 2n
	=
2n +4

−n
	=
2n+4

−1		1
	→ −
2+4n		2