zbieżność ciągu zuz:

	1		1		1
zbadaj ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym an=1+		+		+...+
	22		32		n2

wiem że jest ograniczony z dwóch stron i domyślam się jakie to będą dwie granice, zależy mi na obliczeniach...

Grześ: twierdzenie o trzech ciągach zastosuj

zuz: Grześ, a możesz mi to jakoś rozpisać? bo w tym konkretnym przypadku nie wiem jakie wziąć wyrazy. bo ten ciąg ma taką dziwną postać

zuz: jedna strona to będzie jedynka a druga to nie wiem bo to ciąg rosnący...

zuz: czy to zadanie jest aż takie trudne ze zupełnie nikt nie potrafi go rozwiązać?

AC: Zauważmy, że dla

	1		1		1
dla k>1 jest		<		−
	k2		k−1		k

Stąd

	1		1		1
an = 1 + ∑k=2k=n		< 1 + ∑k=2k=n (		−		) =
	k2		k−1		k

	1
= 1 + 1 −		< 2
	n

zuz: dziękuję ślicznie. już rozumiem jak to robić

AC: Proszę

b.: dla ciekawskich dodam, że granicą tego ciągu (a więc i najmniejszym ograniczeniem górnym) jest

	π2
liczba
	6

zuz:

	1		1
a tam nie powinno być kwadratów przy		−		? bo tak jakby nie wiadomo skąd to się
	k−1		k

wzięło, bo jeśli to jest jakby podciąg tego ciągu to chyba musi być kwadrat?

zuz:

	π2
b. jak wyliczyłeś że to będzie		?
	6

Jack: z rozwinięcie w szereg Fouriera zapewne Ale to zdecydowanie trudniejszy rachunek niż oszacowanie.

b.: to nie ja wyliczyłem można tak jak pisał Jack z rozwinięcia odp. funkcji w szereg Fouriera (i nie jest to trudne, oczywiście przy założeniu, że ma się odpowiednie podstawy ), ale jest też całkiem elementarny sposób podany w książce ,,Dowody z księgi'', gorąco polecam przy okazji. (Może nawet więcej niż jeden sposób, nie pamiętam, czytałem tę książkę dawno a nie mam jej teraz przy sobie).

AC:

1		1		1		1
	<		=		−
k2		(k−1)k		k−1		k

To nie jest podciąg tylko oszacowanie.

zuz: no dobra, rozumiem dzieki