potęgowanie liczb zespolonych tomasz: liczby zespolone potęgowanie mam przykład (√3 + i√3)⁶²

	π		π
po skróceniu wszystkiego jestem na etapie 631(cos		+ isin		)
	2		2

	π
dla cos		= 0
	2

	π
dla sin		= 1
	2

odpowiedź końcowa wynosi −6³¹i − skąd wziął się ten minus?

Trivial: Algebraicznie (√3+i√3)⁶² = (√3)⁶²(1+i)⁶² = 3³¹(1+2i+i²)³¹ = 3³¹(2i)³¹ = = 3³¹*2³¹*i³¹ = 6³¹*i^4*7+3 = 6³¹i³ = 6³¹*i²*i = −6³¹i. Trygonometrycznie z = √3 + i√3 ← ćwiartka I |z| = √3+3 = √6.

	Im(z)
tgφ =		= 1
	Re(z)

Wybieramy teraz φ z pierwszej ćwiartki, np.:

	π
φ =		.
	4

	π		π
z = √6(cos		+ isin		)
	4		4

	π		π		π		π
z62 = [ √6(cos		+ isin		) ]62 = 631[cos(		*62) + isin(		*62)].
	4		4		4		4

	π		31π		π		π
cos(		*62) = cos(		) = cos(15π+		) = cos(π+		) = 0.
	4		2		2		2

	π		31π		π		π
sin(		*62) = sin(		) = sin(15π+		) = sin(π+		) = −1.
	4		2		2		2

z⁶² = 6³¹[0 + i*(−1)] = −6³¹i.

tomasz:

	π
czyli sin		zawsze się równa −1?
	2

Trivial:

	π
sin		= 1, ale tutaj nigdzie go przecież nie ma.
	2

	π
sin(π+		) = −1 (skorzystaj ze wzorów redukcyjnych, albo wyobraź sobie wykres sinusa).
	2

Ze wzorów będzie tak:

	π		π
sin(π+		) = −sin		= −1.
	2		2

tomasz: aaa to się bierze z wykresów funkcji sinusa i cosinusa?

tomasz: o byłeś przede mną dzięki a mógłbyś podać link do tych wzorów redukcyjnych?

tomasz: czyli te okresy 15π czy 16π redukuje się w całości jeśli liczba jest parzysta a jeżeli jest właśnie np 15π to zostawia się jedno π?

Rivi: funkcja ma okres 2π (sinus i cosinus) czyli możesz dowolnie dodawać i odejmować po 2π i nie zmieni to wyniku.

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/strona/430.html Ale zapamiętanie tego wszystkiego będzie trudne. Najłatwiej jest zapamiętać: 1. Gdy mamy sin(2kπ + α), albo cos(2kπ + α) to możemy pozbyć się 2kπ, a wartość pozostanie bez zmian. 2. sin(π+α) = −sinα; cos(π+α) = −cosα 3. sin(−α) = −sinα; cos(−α) = cosα. Tyle wystarczy. Można z tego obliczyć wartość funkcji trygonometrycznych dla każdego kąta (o ile redukuje się do 'ładnej' postaci).

tomasz: Dzięki wielkie panowie. Nie miałem wcześniej matematyki rozszerzonej, więc siedziałem i myślałem co to za herezje, heh. Dobrze, że jest takie forum

emila: cosπ/6