Szacowanie Godzio: Da się to jakoś szacować: |a^x − a^x_o| < ?

b.: no np. tak, jeśli a>1, to dla 0<y<1: a^y − 1 < a^1/n−1, jeśli n naturalne jest tak dobrane, by y<1/n.

Godzio: Jeszcze mam kilka pytań, Udowadniając z def. Heinego, że lim_x→x0a^x = a^x_o wystarczy zrobić takie coś: Biorę dowolny ciąg x_n ≠ x₀, taki że x_n → x₀, pokaże, że lim_x→∞f(x_n) = f(x_o) lim_x→∞f(x_n) = lim_x→∞a^x_n = a^x₀ I drugie pytanie, to że funkcja f jest ograniczona z dołu na każdym skończonym przedziale (a,b) to oznacza tylko tyle, że a ≤ f(x) i a ≠ −∞ i b ≠ ∞ ?

b.: 1. tak, tylko musisz uzasadnić ostatną równość − bo zdaje się, że korzystasz tam z tezy 2. oznacza, że dla każdego skończonego przedziału (a,b) istnieje m∊R takie, że f(x)≥m dla x∊(a,b)

Godzio: Czyli pierwsze Tam miało być oczywiście wszędzie n → ∞ lim_n→∞a^x_n = a^{lim_n→∞x_n} = a^x₀ Tak jest ok ?

b.: a skąd wiadomo, że lim_n→∞ a^x_n = a^{lim_n→∞x_n} ? czy czasem nie stąd, że funkcja wykładnicza jest ciągła?

Basia: ad.1 tak, tylko pamiętaj, że musisz pokazać, że tak jest dla każdego ciągu spełniającego te warunki, a nie dla jakiegoś dowolnie wybranego ad.2 nie łapię; dlaczego a≤f(x) ? co ma dziedzina [ (a,b)⊂D ] do zbioru wartości [ f(x) to wartości ] ?

b.: ad 2. sądzę, że Godzio po prostu pomieszał oznaczenia (tzn. zapomniał, że 'a' jest już użyta jako początek przedziału)

Godzio: Hmmm, to wykazywanie z definicji jest dziadowskie , nie mam pomysłu jak to przejście wykonać poprawnie, trzeba napisać komentarz jakiś czy jakieś dodatkowe działania ?

b.: myślę że w tej sytuacji należy użyć def. Cauchy'ego

Godzio: No dobra, zaraz spróbuję, tylko jeszcze ostatnia rzecz Jeżeli lim_x→∞( f(x + 1) − f(x) ) = ∞ to oznacza, że ∀M>0 ∃m ∀x>m ⇒ f(x) > M ? I zabieram się za Cauchy'ego

Godzio: Aj, f(x + 1) − f(x) > M miało być

b.: prawie dobrze, ale na końcu f(x+1)−f(x)>M powinno być (zamiast f(x)>M)

Basia: Godziu musisz mieć ten dowód dzisiaj ? Mogę Ci napisać jak to powinno wyglądać, ale jutro. Teraz muszę kończyć.

b.: ja jeszcze chwilę jestem, jakby co, ale zaraz (też?) idę spać

Godzio: No mam to na jutro , i tak sobie dzióbie te zadania powoli, ale te dowody to najgorsze

Godzio: Bo w ogóle chyba ciężko mi to zrozumieć ... Jak mam tą definicję Cauchy'ego 0 < |x − x₀| < δ ⇒ |a^x − a^x_o| < ε To pierwsze to jest założenie, i teraz powoli szacując różnice |a^x − a^x_o| dochodzę do

	ε
jakieś postaci |x − x0| * coś tam < coś tam * ε i żeby ładnie wyszło biorę ε =
	coś tam

?

Godzio:

	ε
Naczy δ =
	coś tam

b.:

	ε
nie, |x−x0| jest < δ, więc bierzesz δ =
	coś tam

zawsze dobierasz δ do epsilona, epsilon musisz wziąć dowolny dodatni − nie możesz sobie go brać jak Ci się podoba

b.: oczywiście to 'coś tam' nie może zależeć od x (ale może od x₀ i ε).

Godzio: Jasne, jasne, to wiem, dobra to próbuję Daj mi moment

Godzio: Tylko, że ja mam a > 0, to rozbijać na 2 przypadki ? czy da się jednym ruchem oszacować?

b.: jeśli chodzi o ciągłość funkcji wykładniczej, to w drugim poście (moim pierwszym) dałem wskazówkę, jak sprawdzić prawostronną ciągłość tej funkcji w zerze...

b.: na początek rozpatrz 2 przypadki, potem możesz się zastanowić, czy warto je usunąć

	1
(można też zauważyć, że ax =		i sprowadzić jeden z przypadków do drugiego)
	(1/a)x

Godzio: Nie idzie mi to coś ...

b.: skorzystaj z tego, że ciąg a^1/n − 1 ma granicę 0 (to już pewnie wiesz), więc dla odpowiednio dużych n (n>=n₀) ma wyrazy mniejsze od zadanego z góry epsilona. Stąd dostaniesz oszacowanie które potrzebujesz (δ=1/n₀). Pozostaje poradzić sobie z lewostronną ciągłością i dowolnym x₀... dobranoc

Godzio: Mógłbym napisać CI jeszcze jedno zadanie i rozwiązanie do niego ? Powiedziałbyś czy jest ok. Taka składanka tego co pytałem ?

b.: gdybys napisal, to moze bym zdazyl, a tak to nie wiem

b.: jednak nie − dobranoc

Godzio: Niech f będzie funkcją ograniczoną z dołu na każdym skończonym przedziale (a,b) oraz

	f(x)
limx→∞[ f(x + 1) − f(x) ] = ∞. Wykazać, że limx→∞		= ∞
	x

Wiem, że ∀(a,b) ∃m∊R f(x) ≥ m, x ∊ (a,b) ∀M> 0 ∃m₁∀x x > m₁ ⇒ f(x + 1) − f(x) > M Mam pokazać, że

	f(x)
∀P > 0 ∃p ∀x x > p ⇒		> P
	x

Dowód: f(x + 1) − f(x) > M ⇒ f(x + 1) > M + f(x) ≥ M + m, dla x > m₁ / + 1 ⇒ x + 1 > m₁ + 1 w takim razie: f(x + 1) ≥ M + m x + 1 > m₁ + 1 Dzielę i otrzymuje:

f(x + 1)		M + m
	>
x + 1		m1 + 1

	f(x)		M + m
Więc pokazałem, że dla x > m2		> P =
	x		m1 + 1

Godzio: Myślałem że już poszedłeś więc nie pisałem

Godzio:

	f(x)
Dla x > p		> P ...
	x

b.: to nie jest dobrze. Powinieneś wziąć *dowolne* P, a nie P=... Poza tym nie jest jasne, dla jakiego przedziału wybrałeś 'm' (ono zawsze istnieje, ale dla różnych przedziałów może byc róźne)