Równanie kwadratowe Maturzystka: Dla jakich wymiernych wartości parametru m równanie mx²+(m+1)x+m−1=0 ma tylko całkowite pierwiastki? Doszłam do momentu kiedy policzyłam pierwiastki gdy jest to równanie liniowe, czyli m=0, w drugim przypadku gdy m≠0 policzyłam Δ=−3a²+6a+1 w kolejnym kroku założyłam że aby były jakiekolwiek pierwiastki musi być spełnione założenie Δ≥0 z tego wyszło iż a należy do zbioru <(3−2√3)/3; (3+2√3)/3> nie wiem jaki ma być kolejny krok by wyznaczyć te pierwiastki, próbowałam już z wzorów Vieta ale nie udało mi się niczego osiągnąć. Z góry dziękuję za pomoc

kylo1303: Moim skromnym zdaniem to jednak wzory Vieta powinny byc pomocne, ale jeszcze nie doszedlem w jaki sposob. Wychodziloby ze:

	m−1		m+1
x1x2=		i x1+x2=−
	m		m

Jezeli pierwiastki maja byc calkowite to zarowno iloczyn jak i suma musza byc liczbami calkowitymi. Tutaj wchodzi nam podzielnosc (licznik musi byc podzielny przez mianownik). Jesli to by sie wykazalo to zawsze jeden krok do przodu. Jeszcze tylko nie mam pewnosci czy te Vieta sa wystarczajace (moze sa jakies ulamki ktore tez by spelnily ten uklad). Jak do czegos dojde to dam znac.

AC:

m−1		1
	= p ∊ C ⇒ m =
m		p

czyli liczba m musi być odwrotnością liczby całkowitej.

Maturzystka: Chyba nie są wystarczające bo np. m=1/2 pasuje do tych wzorów Vieta, ale podstawiając je do równania wcale liczby całkowite nie wychodzą. Pasują w sumie wszelkie ułamki typu 1/x

AC: Masz rację. Za szybko chciałem zrobić. Ale po zastanowieniu powinno to być tak: dla wygody oznaczę x₁ = p∊C

	1−p
mp2+(m+1)p+m−1=0 ⇒ m =
	p2+p+1

Drugi pierwiastek tez musi być całkowity Zał. p≠1⇒m≠0

	m+1		1
x2 = −		− p = −1 − p −
	m		m

	1
z tego wynika że −		musi być całkowite
	m

zbadajmy kiedy jest:

	1		p2+p+1		3
−		=		= p+2 +
	m		p−1		p−1

	3
teraz to musi być całkowite
	p−1

a to zachodzi dla p −1= −1∨ p −1=1 ∨ p −1=−3 ∨ p−1=3 p = 0 ∨ p = 2 ∨ p = −2 ∨ p = 4

	1
Stąd m = 1 ∨ m = −
	7

Mam pytanie to jest zadanie maturalne?

Maturzystka: Jest to matura rozszerzona