Basia:
a
n = (
√n+3+
√n)*(
√n+8 −
√n) =
| (√n(√1+3n+1)*(n+8−n) | |
| = |
| (√n+8+√n) | |
| 8√n(√1+3n+1) | |
| = |
| √n(√1+8n+1) | |
| 8(√1+3n+1) | | 8(√1+0+1) | | 8*2 | |
| → (przy n→+∞) |
| = |
| = 8 |
| √1+8n+1 | | √1+0+1 | | 2 | |
z definicji granicy wynika, że
⋀
ε>0 ⋁
n0 ⋀
n>n0 |a
n − 8| < ε
⋀
ε>0 ⋁
n0 ⋀
n>n0 −ε < a
n−8 < e
⋀
ε>0 ⋁
n0 ⋀
n>n0 8−ε < a
n < 8+ε
trzeba więc przyjąć
C = 8−ε
3C = 8+ε
−−−−−−−−−−−−−−−−−
4C = 16
C = 4
dla ε=4 (a skoro dla każdego dodatniego to i dla 4) mamy
dla ε=4 ⋁
n0 ⋀
n>n0 4 < a
n < 12
żeby pokazać, że dla każdej (a nie tylko każdej > n
0)
wystarczy pokazać, że te nierówności zachodzą dla n =1
4≤(
√4+
√1)(
√9+
√1) = 3*4 ≤ 12
co kończy dowód
