Udownij że kujonek: 3²n−2 + 5²n−1 jest podzielne przez 14 2⁶n+1 + 9ⁿ+1 jest podzielne przez 11 Sposobem indukcyjnym

Basia: to jest 3²*n czy 3²ⁿ; 5²*n czy 5²ⁿ; 2⁶*n czy 2⁶ⁿ ?

kujonek: tak jak sugerujesz jest, za bardzo nie umiem tutaj pisać i te wszystkie cyfry poza też się tyczą potęgi czyli 3 do potęgi 2n − 2

Basia: 3²ⁿ⁻² ⇒ po "daszku" trzeba napisać {2n−2}

kujonek: aha, a umiesz to rozwiązać ?

Basia: 3²ⁿ⁻² + 5²ⁿ⁻¹ |14 1. n=1 L = 3⁰ + 5¹ = 1+5 = 6 dla n=1 twierdzenie nie jest prawdziwe n=2 L = 3² + 5³ = 9+125 = 134 dla n=2 też nie jest no to chyba nie jest w ogóle prawdziwe może jakiś błąd w zapisie

Basia: sprawdź, zajrzę jutro, bo teraz muszę kończyć

kujonek: mój błąd bo spojrzałem się na inny przykład tam zamiast 2n powinno być 4n , przepraszam

Basia: powinno być chyba tak 3⁴ⁿ⁻² + 5²ⁿ⁻¹ |14 1. n = 1 L = 3² + 5¹ = 9+5 = 14 = 14*1 |14 2. Z: 3⁴ⁿ⁻² + 5²ⁿ⁻¹ = 14*p ⇒ 3⁴ⁿ⁻² = 14*p − 5²ⁿ⁻¹ gdzie p∊C T: 3^4(n+1)−2 + 5^2(n+1)−1 = 14*r gdzie r∊C dowód: 3^4(n+1)−2 + 5^2(n+1)−1 = 3⁴ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹ = 3⁴ⁿ⁻²⁺⁴ + 5²ⁿ⁻¹⁺² = 3⁴ⁿ⁻²*3⁴ + 5²ⁿ⁻¹*5² = 81*[ 14p − 5²ⁿ⁻¹ ] + 25*5²ⁿ⁻¹ = 14*81p + 5²ⁿ⁻¹*[ 25 − 81 ] = 14*81p − 56*5²ⁿ⁻¹ = 14*81p − 14*4*5²ⁿ⁻¹ = 14*[ 81p − 4*5²ⁿ⁻¹ ] co należało udowodnić, bo 81p − 4*5²ⁿ⁻¹ = r ∊C