Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 1 zachodza równości: uczeń: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (n(n+1) / 2 ) ² W drugim wyrażeniu jest ułamek: na górze jest n (n+1) i całość podzielona przez dwa i wszystko podniesione do kwadratu

Aga: Dowód indukcyjny

	1*2
10dla n=1 13=(		)2
	2

L=P 2⁰ Zakładamy,że równość jest prawdziwa dla n=k i mamy udowodnić słuszność wzoru dla n=k+1

	[(k+1)(k+2)]2
13+23+33+...+k3+(k+1)3=
	4

	(k(k+1)2		k2(k+1)2+4(k+1)2(k+1)
L=13+23+33+...+k3+(k+1)3=		+(k+1)3=		=
	4		4

(k+1)2(k2+4k+4)		(k+1)2(k+2)2
	=
4		4

L=P.

Trivial: Dowód sumacyjny. Definiujemy x^k = x(x−1)(x−2)...(x−k+1). ∑x³δx = ∑x(x²)δx = ∑x[(x−1)(x+1) + 1]δx = ∑x[(x−1)[(x−2)+3] + 1]δx = = ∑[x(x−1)(x−2) + 3x(x−1) + x]δx = ∑[x³ + 3x² + x¹]δx =

	x4		3x3		x2
=		+		+		=
	4		3		2

	x2		x2
=		[(x−2)(x−3) +4(x−2) + 2] =		[(x−2)(x+1) + 2] =
	4		4

	x2		x2		x2
=		[x2−x−2 + 2] =		(x2−x) =		x(x−1) =
	4		4		4

	x2		x(x−1)
= (		)2 = (		)2.
	2		2

	x(x−1)		(n+1)n		1*0
∑k=1..n k3 = [ (		)2 ]1..(n+1) = (		)2 − (		)2 =
	2		2		2

	n(n+1)
= (		)2.
	2

Trivial: Oczywiście po sumowaniu wszędzie powinno być + c, ale można przyjąć, że c=0 (i tak nie ma to znaczenia przy liczeniu sum oznaczonych).