indukcja matematyczna hashiri: Witam! Bardzo proszę o pomoc, bo nie nie wiem jak rozwiązać nierówność indukcja matematyczna. Zad. Udowodnij, ze dla każdej dodatniej liczby naturalnej n suma odwrotności pierwiastków kwadratowych z liczb naturalnych od 1 do n jest nie mniejsza od pierwiastka kwadratowego z liczby n. Proszę o jak najszybszą pomoc.

hashiri: Plisss help me

hashiri: Mistrzowie Potrzebuje pomoc

Trivial:

	1
1. dla n = 1 mamy:		≥ √1 − OK.
	√1

2. Zapisz tę nierówność.

hashiri: W drugim kroku indukcyjnym mamy udowodnić następującą implikację: Jeśli dla dowolnej liczby naturalnej k nierówność ta jest prawdziwa

1		1		1		1
	+		+		+ ... +		≥ √k
√1		√2		√3		√k

to dla k+1 też jest prawdziwa

1		1		1		1		1
	+		+		+ ... +		+		≥ √k+1
√1		√2		√3		√k		√k+1

I teraz jak tą implikacje udowodnić przez DOWÓD WPROST ?

Trivial:

	1		1		1		1
(		+		+ ... +		) +		≥ √k+1.
	√1		√2		√k		√k+1

Teraz już wiesz jak?

hashiri: Właśnie wiem ze ten nawias trzeba zastąpić tym wyrażeniem z poprzednika implikacji, ale mam problem z dalszym przekształcaniem tego. Wiem, ze to dużo pisania, ale jakaś dalsze wskazówka, bo wogóle nie wiem co robić jak mam znak nierówności. Z równaniami to bez problemu lece, ale tu jakaś lipa

Trivial:

1		1		1		1
	+		+ ... +		≥√k ≥ √k+1 −
√1		√2		√k		√k+1

	1
Z indukcji wiemy, że ta suma ≥ √k, czyli jeżeli √k ≥ √k+1 −		to mamy OK.
	√k+1

	1		k+1		1		k
√k+1 −		=		−		=		.
	√k+1		√k+1		√k+1		√k+1

	k
Teraz, czy √k ≥		?
	√k+1

Rivi:

	1
masz postać √k+		≥√k+1, potęgujesz , usuwasz samo "k" z obu stron, dodajesz to po
	√k+1

lewej, wyciągasz √k przed nawias w liczniku i mianowniku, skracasz i masz postać

	2
		≥1 co kończy dowód (wymyśl i napisz dlaczego
	√1+1k

hashiri: co po tym

2√k		1
	+		≥ 1
√k+1		k+1

Jeżeli mam dodać to jaki dać wspólny mianownik ?

hashiri: POMOCY!

hashiri: Rozwiąże ktoś to zadanie ? Proszę

uczeń: akurat dzisiaj rozwiązywałem podobne zadanie, możesz podać mail to Ci wyślę, może pomoże

hashiri: Niech ktoś mi pomoże ! Błagam na poniedziałek muszę to umieć

matematyk: podaj mail to Ci wyśle, za dużo pisania

hashiri:

hashiri: hashiri@o2.pl

kujonek: ok zaraz wyśle

hashiri: Dzieki wielkie, przydało się bardzo Mam też pytanie do Ciebie. Jak udowadniasz np. dla n≥2 to w 1⁰ dowód dla n=2 2⁰ założenie dla k>2 [a nie dla k≥2 ] i dowód dla k+1>3 [a nie dla k+1≥3 ]

kujonek: Ja udowadniam że k>2 i mój nauczyciel do tego się nie przyczepiał, więc chyba tak jest dobrze

hashiri: Mam generalne pytanie do matematyków ! Czy takie zagadnie jak : − potęga punktu P względem okręgu − ognisko paraboli itd. ... są na maturze z matmy

hashiri: przepraszam za literówkę : zagadnienia

Basia: chyba: położenie punktu P względem okręgu: TAK ognisko paraboli: NIE